Untuk apa c dibagi dengan c di AC0?

Misalkan input kita adalah biner dan kita harus menampilkan , di mana adalah bilangan bulat konstan. Ini hanya pergeseran jika adalah kekuatan dua, tetapi bagaimana dengan angka lainnya? Bisakah kita melakukannya dengan sirkuit kedalaman konstan untuk setiap ? Bagaimana dengan ? $x$ $\lfloor x/c \rfloor$ $c$ $c$ $c$ $c=3$

ps. Saya tahu bahwa komputasi sulit, tetapi ini tampaknya tidak berhubungan. $x\bmod c$

cc.complexity-theory circuit-complexity ac0

— domotorp
sumber

Penambahan dan pengurangan angka biner ada di $\mathsf{AC^0}$ .

Untuk bilangan konstan $c$ , $x \bmod c$ adalah $\mathsf{AC^0}$ dapat direduksi menjadi pembagian dengan $c$ ( $\lfloor x/c \rfloor$ ):

x mod c = x - (\overset{c times}{\overset{⏞}{⌊ x / c ⌋ + \dots + ⌊ x / c ⌋}})

$x \bmod c = x - (\overbrace{\lfloor x/c \rfloor + \cdots + \lfloor x/c \rfloor}^{c \text{ times}})$

Diketahui bahwa $x \bmod c$ sulit untuk $\mathsf{AC^0}$ untuk setiap $c$ yang bukan kekuatan $2$ . Jadi $\lfloor x/c \rfloor$ sulit untuk $\mathsf{AC^0}$ untuk setiap $c$ yang bukan kekuatan $2$ .

Sebagaimana dicatat oleh Emil di komentar ada pengurangan mudah bagi aneh perdana dari (yaitu, dengan ) untuk dengan input biner: kami hanya menggunakan bit input yang merupakan kelipatan dan menggunakan FLT ( ). $c$ $\mathit{MOD}_c$ $\sum_ix_i\bmod c$ $x_i\in\{0,1\}$ $x\bmod c$ $p-1$ $2^{(p-1)i} \bmod p = 1$

— daniello
sumber

Argumen yang sama berlaku untuk mana pun yang bukan merupakan kekuatan 2.

c

$c$

— Emil Jebekábek

Itu bukan AC ^ 0 untuk lainnya mudah untuk ditampilkan: misalnya, kita dapat menganggap adalah prime yang aneh, dan kemudian Anda dapat mengurangi MOD_p untuk itu dengan menggunakan setiap bit th . Atau Anda dapat menerapkan klasifikasi Barrington-Thérien: ini adalah bahasa biasa, dan monoid sintaksisnya adalah grup nontrivial.

x mod c

$x\bmod c$

c

$c$

c = p

$c=p$

(p - 1)

$(p-1)$

— Emil Jeřábek

@Emil Jerabek: Terima kasih, ini persis bantuan yang saya butuhkan :)

— daniello