Gelar ditetapkan untuk grafik ekstensi linier

Sebuah perpanjangan linear dari poset adalah pesanan linear pada unsur-unsur , sehingga di menyiratkan di untuk semua . $L$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $\mathcal{P}$ $x \leq y$ $L$ $x,y\in\mathcal{P}$

Sebuah grafik ekstensi linear adalah grafik pada set ekstensi linear dari poset, di mana dua ekstensi linier yang berdekatan persis jika mereka di ff er di salah satu pertukaran yang berdekatan dari unsur-unsur.

Pada gambar berikut ada poset yang dikenal sebagai -poset, dan grafik ekstensi liniernya, di mana . $N$ $a=1234, b=2134, c=1243, d=2143, e=2413$

teks alternatif (Angka ini diambil dari pekerjaan .)

Ketika Anda mempelajari grafik ekstensi linear (LEG) Anda dapat menemukan ide (dugaan) bahwa jika - tingkat maksimal LEG, - masing-masing, derajat minimal, maka set derajat setiap LEG terdiri dari dan masing-masing bilangan alami di antara mereka. Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah poset, yang dikenal sebagai chevron, lalu dalam LEG dengan dan , dan juga, menurut dugaan kami, simpul dengan derajat 4 dan 3 terkandung dalam grafik. Jadi, pertanyaannya adalah dapatkah kita membuktikan atau menyangkal dugaan ini? $\Delta$ $\delta$ $\Delta,\delta$ $\mathcal{G}$ $\Delta(\mathcal{G})=5$ $\delta(\mathcal{G})=2$

Tentang KAKI dan bagaimana mereka terlihat seperti orang dapat membaca dalam disertasi Mareike Massow di sini . Chevron dan KAKI nya dapat dilihat pada halaman 23 disertasi.

Pada set derajat ada kertas klasik " Gelar set untuk grafik " oleh Kapoor SF et al.

graph-theory co.combinatorics

— Oleksandr Bondarenko
sumber

apa itu grafik ekstensi linear? artinya, dapatkah Anda melipat definisi menjadi pertanyaan sehingga sedikit lebih mandiri?

— Suresh Venkat

Dugaan ini lucu. Apakah ada motivasi atau aplikasi yang diketahui untuk dugaan itu? (Katakanlah pengurangan dugaan lain.)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih Chang Motivasi untuk dugaan ini adalah ketika membuktikannya kita akan mengetahui isi dari derajat yang ditentukan hanya dengan mengetahui derajat maksimum dan minimum dari grafik ekstensi linear yang diberikan.

— Oleksandr Bondarenko

Saya pikir saya membuktikannya kemarin. Jadi begini sketsa buktinya. Pada awalnya, lemma berikut terbukti.

Lemma . Mari - urutan parsial, - nya ekstensi grafik linear dan - dua simpul yang berdekatan dari . Lalu . $\mathcal{P}$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $G(\mathcal{P})$ $|deg(v_1)-deg(v_2)|\leq 2$

Sketsa buktinya.

Pada saat yang sama, adalah ekstensi linear dari sehingga salah satu dari mereka, mengatakan , bisa diubah menjadi oleh salah satu transposisi elemen yang berdekatan (bersebelahan transposisi). Sangat mudah untuk melihat (perhatikan, misalnya, dan dari gambar di atas) bahwa setiap elemen dari setiap ekstensi linear dapat mengubah jumlah elemen berdekatan yang tak tertandingi pada paling banyak dua: $v_1,v_2$ $\mathcal{P}$ $v_1$ $v_2$ $d$ $e$ $x_i$ $L=x_1x_2\dots x_n$

Jika dapat dialihkan sama sekali maka setidaknya satu tetangganya, mengatakan , tak tertandingi untuk itu ( , jika dibandingkan maka ). Catatan: sebelum transposing kita memiliki dan segera setelah - $x_i$ $x_{i+1}$ $x_i\parallel x_{i+1}$ $x_i\perp x_{i+1}$ $L_1=\dots x_{i-1}x_ix_{i+1}x_{i+2}\dots$ . $L_2=\dots x_{i-1}x_{i+1}x_{i}x_{i+2}\dots$
Mari kita perhatikan bagaimana jumlah ketidakcocokan (derajat ekstensi linear sebagai simpul dalam ) dalam bisa berubah. Kami mempertimbangkan pada awalnya pasangan . Untuk kesimpulan yang sama diikuti oleh simetri. $G(\mathcal{P})$ $L$ $x_ix_{i+2}$ $x_{i-1}x_{i+1}$

Jika , maka tidak berubah. Jika , maka $x_{i+1}\parallel(\perp) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ $deg(L)$ $x_{i+1}\perp(\parallel) x_{i+2}\land x_{i}\parallel(\perp) x_{i+2}$ bertambah (berkurang) satu per satu. Sketsa buktinya selesai. $deg(L)$

Teorema . Misalkan - grafik ekstensi linier. Jika berisi simpul dengan , maka ada sedemikian rupa sehingga $G(\mathcal{P})$ $G(\mathcal{P})$ $v_1,v_2$ $deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $v_3\in G(\mathcal{P})$ . $deg(v_3)=k+1$

Sketsa buktinya.

Misalkan berdekatan dalam , jika tidak, setiap simpul dengan derajat dalam berdekatan dengan beberapa titik jika seperti itu ada dengan gelar . $v_1,v_2,deg(v_1)=k,deg(v_2)=k+2$ $G(\mathcal{P})$ $k$ $G(\mathcal{P})$ $k+1$

Mari kita perhatikan kasus di mana kita memiliki dari lemma sebelumnya sehingga $L_1,L_2$

dan

x_{i + 1} ⊥ x_{i + 2} \land x_{i} ∥ x_{i + 2},

$x_{i+1}\perp x_{i+2}\land x_{i}\parallel x_{i+2},$

x_{i - 1} ⊥ x_{i} \land x_{i - 1} ∥ x_{i + 1},

$x_{i-1}\perp x_{i}\land x_{i-1}\parallel x_{i+1},$

Jadi . $deg(L_2)=deg(L_1)+2$

$x_{i+1}$ $x_1$

x_{j} ⊥ x_{i + 1} \land x_{i + 1} ∥ x_{j + 1},

$x_{j}\perp x_{i+1}\land x_{i+1}\parallel x_{j+1},$

j < i - 1

$j<i-1$

— Oleksandr Bondarenko
sumber

x \sim y

$x \sim y$

x

$x$

y

$y$

v_{1}, v_{2}

$v_1,v_2$

x ⊥ y

$x\perp y$