Apakah memprediksi (dalam batas) urutan yang dihitung sekeras masalah penghentian?

Pertanyaan : Apakah memprediksi (sebagaimana didefinisikan di bawah) urutan yang dapat dihitung sama sulitnya dengan masalah penghentian?

Elaborasi : "Predict" berarti berhasil memprediksi, yang berarti hanya membuat banyak kesalahan pada tugas mencoba untuk memprediksi bit ke-n dari urutan yang diberikan akses ke bit n-1 sebelumnya (mulai dari bit pertama dan melalui seluruh urutan komputer tanpa batas).

Ada argumen diagonalisasi sederhana (karena Legg 2006) bahwa untuk setiap prediktor mesin Turing, ada urutan yang dapat dihitung yang membuat banyak kesalahan yang tak terhingga. (Bangunlah sebuah urutan yang memiliki istilah ke-n kebalikan dari apa yang diprediksi p dengan syarat-syarat n-1 sebelumnya dalam urutan tersebut.) Jadi tidak ada prediktor komputer yang memprediksi setiap urutan yang dapat dihitung. Sebuah oracle yang berhenti akan memungkinkan dibangunnya alat prediksi semacam itu. Tetapi dapatkah Anda menunjukkan bahwa memiliki alat prediksi seperti itu memungkinkan Anda untuk memecahkan masalah yang terjadi?

Lebih banyak elaborasi

Definisi (Legg)
P prediktor adalah mesin Turing yang mencoba memprediksi bit ke-n dari urutan S yang diberikan akses ke bit n-1 sebelumnya. Jika prediksi gagal untuk mencocokkan bit ke-n dari urutan, kami menyebutnya kesalahan . Kita akan mengatakan bahwa p memprediksi S jika p hanya membuat banyak kesalahan pada S. Dengan kata lain, p memprediksi S jika ada beberapa angka M dalam urutan st untuk setiap m> M, p dengan benar memprediksi bit ke-m dari S diberikan akses ke bit m-1 pertama.

Secara formal, kita dapat mendefinisikan mesin prediksi sebagai memiliki tiga kaset. Urutan dimasukkan sebagai input sedikit demi sedikit pada satu pita, prediksi untuk bit berikutnya dibuat pada pita kedua (mesin hanya dapat bergerak melintasi pita ini), dan kemudian ada pita kerja di mana mesin bisa bergerak ke dua arah.

Hasil sederhana
Dengan definisi di atas, ada prediktor yang memprediksi semua bilangan rasional. (Gunakan enumerasi zig-zag standar dari rasional. Mulailah dengan memprediksi rasional pertama dalam daftar, jika ada kesalahan, pindah ke rasional berikutnya.). Dengan argumen yang sama, ada prediktor yang diberikan akses ke N, dapat memprediksi semua urutan kompleksitas Kolomogorov kurang dari atau sama dengan N. (Jalankan semua mesin N-bit secara paralel dan ambil prediksi mesin yang berhenti terlebih dahulu. Anda hanya dapat membuat banyak kesalahan secara terbatas).

Citation Shane Legg 2006 http://www.vetta.org/documents/IDSIA-12-06-1.pdf (bukan penulis posting ini)

Sebenarnya ini lebih mudah daripada menyelesaikan masalah penghentian.

Misalkan menjadi fungsi yang mendominasi semua fungsi yang dapat dihitung, yaitu, untuk semua fungsi yang dapat dihitung total , kami memilikinya untuk semua tetapi banyak , . Ini adalah fakta standar bahwa ada fungsi-fungsi seperti itu yang memiliki tingkat Turing yang benar-benar lebih rendah daripada masalah penghentian, lihat misalnya buku Soare, Recursively Enumerable Sets and Degrees . Ini disebut derajat Turing tinggi .$f:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$g:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$$n$$g(n)\le f(n)$

Biarkan , menjadi daftar standar dari fungsi komputasi parsial dari hingga .$\varphi_e$$e\in\mathbb N$$\mathbb N$$\{0,1\}$

Sekarang, menggunakan kita membangun prediktor .$f$$p$

$p(a_0,\ldots,a_{k-1})$ dipilih sebagai angka sehingga untuk membuat urutan setuju dengan untuk seminimal mungkin . Karena kita tidak bisa menunggu kemungkinan komputasi berhenti, kami hanya memantau perhitungan sampai tahap ( banyak langkah perhitungan). Jika tidak ada kita hanya menetapkan sewenang-wenang (katakan ).$a_{k}\in \{0,1\}$$a_0,\ldots,a_k$$\varphi_t(0),\ldots,\varphi_t(k)$$t\le k$$f(k)$$f(k)$$t$$a_{k}$$=0$

Sekarang anggaplah minimal sehingga menghitung urutan komputasi yang sebenarnya diamati. Maka kita akan untuk semua tetapi banyak menggunakan dan karenanya memilih , karena mendominasi fungsi waktu berjalan untuk , yaitu tahap terkecil di mana memiliki terhenti.φ q k t = q a k f φ q s ( n ) = φ q ( n $q$$\varphi_q$$k$$t=q$$a_{k}$$f$$\varphi_q$$s(n)=$$\varphi_q(n)$