Apakah penghapusan kuadrat lebih mudah daripada anjak piutang?

8

Tampaknya bagi saya bahwa tugas penghapusan kuadrat dapat direduksi menjadi tugas anjak piutang , tetapi tidak ada cara untuk mengurangi anjak piutang menjadi penghapusan kuadrat. Apakah ada cara untuk membuat "perasaan" ini lebih tepat, yaitu beberapa hipotesis umum yang diyakini akan dilanggar jika anjak piutang dapat dikurangi menjadi penghapusan kuadrat? Tetapi jika penghapusan persegi memang lebih mudah daripada memfaktorkan (dalam arti garis besar di atas), maka pertanyaan berikutnya adalah apakah ini merupakan masalah antara-NP (yaitu apakah algoritma waktu polinomial untuk itu diketahui atau tidak).

Berikut ini adalah deskripsi canggung tentang penghapusan persegi dan tugas anjak piutang :

Biarkan diberikan dalam representasi biner. Biarkan dengan prime, , dan untuk menjadi faktorisasi utama . $n\in\mathbb{N}^*$ $n=\prod_i p_i^{\alpha_i}$ $p_i$ $\alpha_i\in\mathbb{N}^*$ $p_i\neq p_j$ $i\neq j$ $n$

Untuk penghapusan kuadrat, representasi biner dari diminta. $m=\prod_i p_i$
Untuk anjak piutang, menemukan (representasi biner dari) faktor non-sepele diminta, yaitu sejumlah dengan , , dan . $n$ $q=\prod_j p_j^{\beta_j}$ $1<q<n$ $\beta_j\in\mathbb{N}$ $\beta_j\leq\alpha_j$

cc.complexity-theory nt.number-theory factoring

— Thomas Klimpel
sumber

3

\prod_{i} p_{i}

$\prod_ip_i$ disebut sebagai radikal dari . Ada diskusi yang relevan di math.stackexchange.com/a/171571 .

n

$n$

— Emil Jeřábek

1

Sama seperti komentar sampingan: Saya menganggap pertanyaan Anda ditargetkan pada bilangan bulat. Untuk polinomial, faktorisasi bebas persegi memang jauh lebih sederhana daripada faktorisasi penuh.

— Christopher Creutzig

10

Saya percaya tidak ada algoritma polinomial yang dikenal.

Menurut sebuah makalah ini digunakan di setidaknya satu cryptosystem:

Abstrak. Kami mengusulkan modulo cryptosystem berdasarkan pada cryptosystem RSA. Kami memilih modulus yang sesuai yang menolak dua algoritma anjak tercepat, yaitu saringan bidang angka dan metode kurva eliptik. $p^k q$ $p^ k q$

Jika Anda dapat menemukan Anda akan menghancurkan cryptosystem dengan menghitung . $pq$ $\frac{p^k q}{pq}=p^{k-1}$

Pertanyaan ini menunjukkan tidak ada algoritma polinom yang diketahui memutuskan apakah integer adalah squarefree (semua Anda ). $\alpha_i=1$

— joro
sumber

Pertanyaan menarik dan jawaban yang bagus!

— Tayfun Bayar

11

Kita dapat menunjukkan bahwa jika semua berbeda, maka penghapusan kuadrat dan factoring sama-sama keras. $\alpha_i$ $n$

Jelas, bahwa jika kita dapat faktor , kita juga dapat menghitung penghapusan persegi . $n$ $n$

Arah lain sedikit lebih rumit. Pertama hitung penghapusan kuadrat dari dan mari kita sebut ini . Dari definisi tersebut maka membagi . Membagi dengan berulang kali sampai kita mencapai angka, yang tidak habis dibagi oleh , saya akan menyebutnya $n$ $m$ $m$ $n$ $m$ $m$ $x$

x = \frac{n}{m^{b}}

$x = \frac{n}{m^b}$

Sekarang hitung , jika memiliki lebih dari satu faktor utama, mereka akan memiliki identik dalam produk asli , yang bertentangan dengan asumsi bahwa semua berbeda , maka adalah faktor utama dalam . $p = \frac{m}{\gcd(x, m)}$ $p$ $\alpha_i$ $n$ $\alpha_i$ $p$ $n$

Mengetahui satu faktor utama dalam adalah mungkin untuk mengurangi masalah menjadi anjak lebih kecil , yang memenuhi kriteria yang sama, sehingga algoritme dapat diulang. $n$ $n'$

Kami juga dapat menunjukkan bahwa jika semua sama, maka penghapusan kuadrat mudah. Itu karena hanya dapat memiliki ukuran logaritmik dalam , dan setiap kemungkinan dapat diuji dengan menghitung akar th dari . $\alpha_i$ $\alpha_i$ $n$ $\alpha_i$ $\alpha_i$ $n$

Namun hasil yang diperoleh dengan cara itu akan salah jika tidak sama. Hasil yang diperoleh akan benar jika gratis persegi. Dan @joro menunjukkan, bahwa tidak ada algoritma polinom yang diketahui untuk memutuskan apakah suatu angka bebas kuadrat. $\alpha_i$

Jadi untuk beberapa penghapusan persegi dan anjak piutang adalah sama. Untuk penghapusan persegi lainnya mudah. Mengisahkan kedua kasing itu tampaknya sulit. $n$ $n$

— kasperd
sumber