Membandingkan kompleksitas teori Kolmogorov


14

Ketidaklengkapan Chaitin teorema mengatakan teori tidak cukup kuat aritmatika dapat membuktikan K(s)>L mana adalah kompleksitas Kolmogorov string dan adalah konstan cukup besar. adalah cukup besar jika lebih besar dari ukuran dalam bit dari mesin pemeriksaan bukti (PCM). Sebuah PCM teori mengambil string disandikan sebagai integer sebagai masukan dan output 1 jika string adalah bukti yang sah dalam bahasa .K(s)sLLTTT

Asumsikan bahwa L(T)>|PCMT|teori T adalah batas atas untuk kompleksitas T . Pertimbangkan hierarki teori berikut: Biarkan teori dasar menjadi aritmatika Robinson ( Q ). Menambah Q dengan aksioma induksi terikat polinomial yang semakin kuat. Biarkan Q menjadi teori teorema yang dibuktikan dengan Q dan semua aksioma induksi terbatas ini. Asumsikan kita dapat mendefinisikan L(Q) dan L(Q) dengan mendefinisikan PCM untuk setiap teori.

Saya ingin mempertimbangkan EPCM untuk Q . EPCM ini mengambil string sebagai input seperti halnya ECM dan memiliki input kedua yang mendefinisikan pangkat dan level dari sub-teori Q . Jika string input adalah bukti yang valid di Q EPCM kemudian melalui langkah-langkah bukti untuk menentukan peringkat tertinggi dan level induksi yang digunakan. EPCM ini kemudian menulis 1 jika kalimat input adalah bukti yang valid dalam sub-teori tertentu dari Q .

Apakah pemeriksa bukti yang ditingkatkan yang saya uraikan layak? Jika demikian, apakah ukuran EPCM ini menjadi batas atas tidak hanya untuk kompleksitas , tetapi juga batas atas pada kompleksitas sub-teori Q ?QQ

Apakah masuk akal untuk mengatakan ada batas atas konstan pada kompleksitas dan semua sub-teorinya?Q


Pertanyaan ini diilhami oleh bukti kegagalan Nelson tentang ketidakkonsistenan aritmatika. Saya tidak menunjukkan ini sebelumnya karena beberapa orang menemukan bukti itu mengganggu. Motivasi saya adalah mengajukan pertanyaan yang menarik. CSTheory tampaknya menjadi forum yang tepat untuk pertanyaan ini. Kompleksitas dan semua sub-teorinya dibatasi oleh konstanta atau tidak terikat. Salah satu jawaban mengarah ke lebih banyak pertanyaan.Q

Jika kompleksitas sub-teori tidak terbatas, kita dapat mengajukan pertanyaan seperti apa sub-teori terlemah dari lebih kompleks daripada Q ? Atau lebih kompleks dari PA dan ZFC? Memikirkan pertanyaan ini telah menunjukkan kepada saya bahwa ada batas parah pada seberapa banyak teori dapat membuktikan tentang kompleksitas string Kolmogorov. Jika Q konsisten maka tidak ada sub-teorinya yang dapat membuktikan K ( s ) > L ( Q ) untuk string apa pun. Ini berarti bahkan sub-teori yang sangat kuat tidak dapat membuktikan ada string yang lebih kompleks daripada sub-teori yang jauh lebih lemah di mana teori yang lebih lemah lebih kompleks dari QQQQK(s)>L(Q) .Q


1
Sejauh ini memang benar, tetapi tentu saja input tambahan ( , katakanlah) yang diperlukan untuk memeriksa pembatasan pada skema induksi adalah kompleksitas yang tidak terbatas itu sendiri, sehingga agak menyesatkan untuk menyarankan bahwa Anda telah mengikat kompleksitas ini secara seragam . n

Kompleksitas tambahan akan . Jika saya membutuhkan n L maka saya hanya akan menunjukkan L > c + l o g ( L ) . log(n)nLL>c+log(L)
Russell Easterly

Notasi Anda agak mengganggu mengingatkan saya ini upaya yang salah untuk membuktikan inkonsistensi aritmatika. Bisakah Anda memperjelas motivasi Anda?
cody

Hai Russell. Ini kedengarannya menarik bagi saya. Jika Anda ingin mengobrol, beri tahu saya. Semoga harimu menyenangkan! :)
Michael Wehar

Ya, TM seperti itu dapat digunakan untuk mendefinisikan kompleksitas suatu teori. Saya bertanya apakah ada batasan pada ukuran TM ini ketika kita memiliki beberapa teori.
Russell Easterly

Jawaban:


5

Saya akan mencoba dan memberikan jawaban untuk pertanyaan ini, dan mencoba untuk menjernihkan beberapa kebingungan mengenai bentuk pertanyaan yang tepat.

Titik pertama yang saya ingin membuat: dalam laporan Chaitin konstanta memang fungsi dari T . Dalam pengertian absolut , itu adalah monotonik dalam ekspresi T : jika L ( T ) adalah bilangan alami terkecil dimana T K ( s ) L ( T ) untuk setiap string s , maka jika T adalah teori yang konsisten lebih kuat dari T ( T φ menyiratkan T LTTL(T)

TK(s)L(T)
sTTTφ untuk kalimat aritmatika φ ) lalu L ( T ) L ( T ) . Argumennya sangat sederhana: jika ada s sehingga T K ( s ) L maka T K ( s ) L dengan hipotesis.TφφL(T)L(T)sTK(s)LTK(s)L

Namun, ini hanya benar jika adalah konstanta Chaitin absolut . Secara khusus, jika T ' membuktikan C o n ( T ) , maka T 'L s T K ( ¯ s ) ¯ LL(T)TCon(T)

TLs TK(s¯)L¯

dengan menginternalisasi argumen Chaitin. Namun , sebuah beton yangl

Ts TK(s¯)l¯

secara umum tidak akan sama dengan L(T) . Secara khusus mungkin jauh lebih besar, umumnya sebanding dengan ukuran bukti di T 'Con(T)T . Hal ini dapat dengan mudah dilihat pada bukti teorema itu sendiri, yang krusial bergantung pada konsistensi .T

Jadi sementara dapat membuktikan konsistensi sistem dengan induksi terikat, panjang bukti ini semakin lama semakin dekat dengan Q dalam ekspresi (salah satu cara untuk memahami teorema ketidaklengkapan adalah bahwa panjangnya menjadi tak terbatas ketika Anda mencapai Q , dengan demikian ia tidak memiliki bukti konsistensi yang terbatas dalam Q itu sendiri). Dengan demikian hal yang sama berlaku untuk berbagai batas atas pada L ( T ) s Q internal yang dapat menggambarkan untuk setiap sub-teori.QQQQ L(T)Q

Jadi, inilah jawaban singkat untuk pertanyaan Anda: terikat secara seragam untuk semua sub-teori Q , tetapi Q sendiri tidak dapat menunjukkan bahwa ikatan ini berlaku untuk semua sub-teori tersebut. Ini adalah kesalahan krusial yang dibuat Nelson (terkubur di bawah beberapa lapisan formalisme) dan yang ditunjukkan Tao di sini .L(T)QQ


PRA dapat membuktikan . Apakah ukuran bukti ini merupakan batas atas kompleksitas Q dan semua itu sub-teori (dengan asumsi pengkodean aksioma, kalimat, dll) yang kompatibel? Con(Q)Q
Russell Easterly

PRA dapat memberikan batas seragam untuk untuk masing-masing sub-teori. sejak P R AC o n ( Q * ) dan untuk setiap sub-teori T dari Q * , P R AC o n ( Q * ) C o n ( T ) , dan sehingga tidak sulit untuk acara bahwa batas untuk Q juga bekerja untuk T (dalam PRA). LPRACon(Q)TQPRACon(Q)Con(T)QT
cody

Q

Hai Cody, terima kasih atas jawabannya. Berharap semuanya baik-baik. :)
Michael Wehar

1
Terima kasih Mike! Ini pertanyaan yang menyenangkan. Fakta bahwa Nelson sendiri menjadi bingung dalam perinciannya menunjukkan bahwa ada beberapa jebakan halus di sepanjang jalan ...
cody
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.