Ketidaklengkapan Chaitin teorema mengatakan teori tidak cukup kuat aritmatika dapat membuktikan mana adalah kompleksitas Kolmogorov string dan adalah konstan cukup besar. adalah cukup besar jika lebih besar dari ukuran dalam bit dari mesin pemeriksaan bukti (PCM). Sebuah PCM teori mengambil string disandikan sebagai integer sebagai masukan dan output 1 jika string adalah bukti yang sah dalam bahasa .T
Asumsikan bahwa teori adalah batas atas untuk kompleksitas . Pertimbangkan hierarki teori berikut: Biarkan teori dasar menjadi aritmatika Robinson ( ). Menambah dengan aksioma induksi terikat polinomial yang semakin kuat. Biarkan menjadi teori teorema yang dibuktikan dengan dan semua aksioma induksi terbatas ini. Asumsikan kita dapat mendefinisikan dan dengan mendefinisikan PCM untuk setiap teori.
Saya ingin mempertimbangkan EPCM untuk . EPCM ini mengambil string sebagai input seperti halnya ECM dan memiliki input kedua yang mendefinisikan pangkat dan level dari sub-teori . Jika string input adalah bukti yang valid di EPCM kemudian melalui langkah-langkah bukti untuk menentukan peringkat tertinggi dan level induksi yang digunakan. EPCM ini kemudian menulis 1 jika kalimat input adalah bukti yang valid dalam sub-teori tertentu dari .
Apakah pemeriksa bukti yang ditingkatkan yang saya uraikan layak? Jika demikian, apakah ukuran EPCM ini menjadi batas atas tidak hanya untuk kompleksitas , tetapi juga batas atas pada kompleksitas sub-teori Q ∗ ?
Apakah masuk akal untuk mengatakan ada batas atas konstan pada kompleksitas dan semua sub-teorinya?
Pertanyaan ini diilhami oleh bukti kegagalan Nelson tentang ketidakkonsistenan aritmatika. Saya tidak menunjukkan ini sebelumnya karena beberapa orang menemukan bukti itu mengganggu. Motivasi saya adalah mengajukan pertanyaan yang menarik. CSTheory tampaknya menjadi forum yang tepat untuk pertanyaan ini. Kompleksitas dan semua sub-teorinya dibatasi oleh konstanta atau tidak terikat. Salah satu jawaban mengarah ke lebih banyak pertanyaan.
Jika kompleksitas sub-teori tidak terbatas, kita dapat mengajukan pertanyaan seperti apa sub-teori terlemah dari lebih kompleks daripada Q ∗ ? Atau lebih kompleks dari PA dan ZFC? Memikirkan pertanyaan ini telah menunjukkan kepada saya bahwa ada batas parah pada seberapa banyak teori dapat membuktikan tentang kompleksitas string Kolmogorov. Jika Q ∗ konsisten maka tidak ada sub-teorinya yang dapat membuktikan K ( s ) > L ( Q ∗ ) untuk string apa pun. Ini berarti bahkan sub-teori yang sangat kuat tidak dapat membuktikan ada string yang lebih kompleks daripada sub-teori yang jauh lebih lemah di mana teori yang lebih lemah lebih kompleks dari Q .