Apakah konstanta Cheeger

Saya telah membaca banyak artikel yang menentukan konstanta Cheeger dari sebuah grafik adalah $\mathsf{NP}$ -hard. Tampaknya itu adalah teorema rakyat, tetapi saya belum pernah menemukan kutipan atau bukti untuk pernyataan ini. Siapa yang harus saya beri penghargaan untuk itu? Dalam sebuah makalah lama (Isoperimetric Numbers of Graphs, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar hanya membuktikan pernyataan ini "untuk grafik dengan banyak sisi".

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Delio M.
sumber

Jawaban:

$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ). Saya tidak bisa mengetahui untuk sementara waktu apa yang mereka maksudkan karena tidak disebutkan perluasan tepi dalam kertas yang dimaksud. Saya berkomunikasi dengan Avi Wigderson tentang ini. Akhirnya diketahui bahwa seseorang dapat menggunakan kekerasan Max-Cut seperti yang ditunjukkan dalam kertas Garey et al untuk relatif mudah menunjukkan bahwa ekspansi tepi sulit. Saya lupa detailnya sekarang tetapi seharusnya tidak sulit untuk membuat ulang. Makalah Blum etal pada kekerasan memeriksa apakah grafik adalah superkonsentrator tidak secara langsung menyiratkan kekerasan ekspansi tepi. Mereka secara teknis bukan masalah yang sama.

— Chandra Chekuri
sumber

Makalah saya yang menggunakan kekerasan ekspansi tepi adalah yang di bawah ini onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract . Kami merujuk pada makalah Leighton-Rao dan karya Garey, Johnson, Stockmeyer untuk kekerasan ekspansi tepi.

— Chandra Chekuri

Terima kasih! Jadi secara teknis kekerasan menentukan konstanta Cheeger tidak terbukti dalam literatur?

— Delio M.

@DelioM. referensi Kaibel dalam salah satu jawaban Mohammad memiliki bukti lengkap. Hanya saja pengurangan Garey-Johnson-Stockmeyer dari pemotongan maksimum yang tidak tertimbang menjadi pembagian dua bagian, dengan bukti singkat bahwa dalam grafik yang dihasilkan oleh pengurangan, pemotongan yang paling jarang adalah pembagian dua.

— Sasho Nikolov

Meskipun, saya harus mengakui bahwa saya tersesat. Saya selalu berpikir bahwa max-cut terkait dengan masalah mengkarakterisasi "bagaimana bipartit" grafik. Bagaimana ini bisa membantu menemukan grafik "seberapa terhubung"? Secara ekuivalen, bagaimana nilai eigen terendah kedua dari Laplacian tanpa tanda mengikat nilai eigen kedua terendah dari laplacian? Bahwa batas bawah lebih jelas, tetapi batas atas?

— Delio M.

@DelioM. Max Cut pertama dikurangi menjadi Min Bisection dengan menambahkan lebih banyak

simpul dan mengambil komplemen dari grafik yang dihasilkan. Jadi reduksi ini menghubungkan seberapa dekat dengan bipartit satu grafik dengan seberapa terhubung grafik lain (terkait dengan komplemen yang pertama).

n

$n$

— Sasho Nikolov

Bukti aktual dari -kekuatan penghitungan konstanta Cheeger (atau ekspansi edge) diberikan oleh Kaibel dalam laporan teknis dengan pengurangan dari masalah MAX Cut (Lihat teorema 2). Buktinya adalah perpanjangan dari bukti Kesulitan dari masalah equicut yang diberikan oleh Garey, Johnson, dan Stockmeyer dalam Beberapa masalah grafik NP-complete yang disederhanakan . $NP$ $NP$

V. Kaibel: Tentang perluasan grafik 0/1-polytopes. Laporan teknis arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDIT : Argumen di bawah ini tidak benar , seperti yang ditunjukkan oleh Chekuri, dan dibiarkan untuk tujuan pendidikan.

Ini bukan referensi seperti yang Anda minta tetapi itu menjelaskan status cerita rakyat dari hasil kekerasan.

Berikut adalah ide bukti kelengkapan CoNP untuk memutuskan apakah grafik kubik yang terhubung adalah edge-expander dan karenanya menentukan konstanta Cheeger adalah CoNP-hard. $h(G)$

Masalah pembagian dua minimum adalah -lengkap $NP$ untuk grafik kubik yang terhubung. Di sini kita ingin memutuskan apakah grafik dengan integer dapat dipartisi menjadi dua bagian dengan ukuran yang sama sehingga jumlah tepi potong lebih kecil dari . $G$ $k$ $k$

Perhatikan bahwa komplemen dari masalah ini setara dengan memutuskan apakah grafik adalah expander atau tidak (setiap partisi seimbang memiliki batas lebih dari ). $G$ $V$ $k$

PS Arora dalam seminar ini menyatakan bahwa -hard untuk dikenali $CoNP$ grafik expander (edge-expansion). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $\alpha$

— Mohammad Al-Turkistany
sumber

Bukti ini juga tidak bekerja, karena ukuran pembagian dua menit tidak mengatakan apa-apa tentang ekspansi tepi dengan sendirinya. Misalnya, grafik yang terputus pada simpul

dapat memiliki pembagian dua minimum

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

Grafik

terhubung grafik kubik dan untuk masalah pembagian dua kelas minimum ini adalah NP-complete.

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov Saya tidak pernah melihat orang yang tertarik pada perluasan grafik yang terputus.

— Mohammad Al-Turkistany

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

Ω (n)

$\Omega(n)$