Kompleksitas Hamiltonian yang berlandaskan Area

Baru-baru ini saya berpikir tentang "mengimpor" beberapa pertanyaan terkait fisika ke dalam kuantum CS:

Gagasan fenomena hukum-daerah dalam sistem Hamilton biasanya merupakan singkatan dari Hamiltonian lokal pada beberapa kisi, yang groundstate menunjukkan properti di mana keterjeratan suatu wilayah tertutup sebanding dengan permukaan wilayah, dan bukan volumenya (seperti yang akan terjadi). untuk keadaan umum). Dugaan yang terkenal adalah apakah semua orang Hamilton yang berposisi konstan memperlihatkan properti hukum daerah ini. Untuk sistem 1 dimensi, pertanyaan ini dijawab secara positif oleh Hastings (arXiv: 0705.2024).

Namun, hubungan antara sistem seperti itu dan teori kompleksitas sangat kabur: sementara hasil Hastings menyiratkan bahwa sistem 1-D area-law-patence dapat disimulasikan secara klasik, untuk sistem umum ini tidak diketahui. Jadi pertanyaan saya adalah, apakah pencarian untuk menyelesaikan dugaan hukum-daerah bermanfaat? Atau dengan kata lain, dapatkah seseorang menghasilkan Hamiltonian lokal lengkap-QMA yang juga patuh hukum. Pandangan sekilas ke Hamiltonian lokal lengkap QMA yang dikenal, yang pada dasarnya semua didasarkan pada teorema kuantum Cook-Levin Kitaev menghasilkan bahwa orang Hamilton ini tidak memiliki properti hukum wilayah.

Orang dapat mempertimbangkan contoh yang agak konyol berikut dari sistem 2d yang mematuhi hukum area yang lengkap dengan QMA. Ambil sistem 2d, satu baris yang sama dengan salah satu Hamiltonian 1d lengkap QMA yang dikenal (lihat Aharonov, Gottesman, Irani, Kempe), dan semua baris lainnya dalam status produk. Kemudian, ini mematuhi hukum area (pertimbangkan menggambar persegi panjang yang mencakup baris yang diberikan, dengan baris k dan l kolom; keterjeratan dibatasi oleh waktu yang konstan l dan area tersebut juga setidaknya sama dengan l).

Namun, ini, menurut pendapat saya, tentu saja tidak berarti bahwa membuktikan undang-undang area dalam 2d tidak akan ada gunanya dari sudut pandang kompleksitas. Sebaliknya, saya pikir itu berarti bahwa kita perlu mempertimbangkan tidak hanya undang-undang area untuk entropi keterjeratan, tetapi juga properti keterjeratan lainnya. Salah satu properti seperti itu akan memiliki PEPS dimensi ikatan polinomial. Sebenarnya, membuktikan bahwa ada undang-undang area dalam 2d tidak menyiratkan memiliki PEPS dimensi ikatan polinomial. Implikasi dalam 1d bergantung pada fakta bahwa kita dapat memotong sistem di berbagai ikatan, memotong ke peringkat Schmidt polinomial di setiap ikatan, dan mengikat kesalahan. Prosedur ini tidak berfungsi dalam 2d. Jadi, membuktikan keberadaan PEPS untuk sistem gapped dalam 2d akan menjadi langkah berikutnya. Perasaan saya adalah membuktikan hukum daerah dalam 2d akan menjadi langkah pertama yang baik untuk melakukan itu.

Faktanya, telah dipelajari dengan baik dalam fisika benda terkondensasi bahwa ada Hamiltonian 2d tanpa celah yang mematuhi hukum daerah. Sementara di 1d, sistem yang dijelaskan oleh teori bidang konformal memiliki perilaku logaritmik dari entropi entanglement, dalam 2d banyak sistem kritis menunjukkan hukum area dan kemudian log muncul dalam perilaku subleading, sehingga entropinya sama dengan L + const * log (L) + ... Artinya, istilah universal yang menarik dan bukan dalam istilah entropi bukanlah istilah utama, tetapi subleading, dalam teori 2d tersebut.

Terima kasih atas jawaban terperinci dan berwawasan luas, dan mempertajam perbedaan antara hukum-daerah dan dimensi ikatan polinomial.