Adakah fungsi yang diketahui ada dengan properti direct-sum berikut?

Pertanyaan ini dapat ditanyakan dalam kerangka kompleksitas sirkuit dari sirkuit Boolean, atau dalam kerangka teori kompleksitas aljabar, atau mungkin dalam banyak pengaturan lainnya. Mudah untuk menunjukkan, dengan menghitung argumen, bahwa ada fungsi Boolean pada input N yang membutuhkan banyak gerbang secara eksponensial (meskipun tentu saja kami tidak memiliki contoh eksplisit). Misalkan saya ingin mengevaluasi fungsi yang sama M kali, untuk beberapa bilangan bulat M, pada M set input yang berbeda, sehingga jumlah total input adalah MN. Yaitu, kami hanya ingin mengevaluasi untuk fungsi yang sama pada setiap waktu.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

Pertanyaannya adalah: apakah diketahui bahwa ada urutan fungsi (satu fungsi untuk setiap N) sehingga, untuk setiap N, untuk setiap M, jumlah gerbang yang diperlukan setidaknya sama dengan M kali fungsi eksponensial dari N? Argumen penghitungan sederhana tampaknya tidak berfungsi karena kami ingin hasil ini berlaku untuk semua M. Seseorang dapat menghasilkan analog sederhana dari pertanyaan ini dalam teori kompleksitas aljabar dan bidang lainnya.$f$

Ya, itu salah: adalah mungkin untuk mengevaluasi salinan M dari APAPUN f hanya menggunakan gerbang O (N (M + 2 ^ N)) yang bisa jauh lebih kecil dari M * exp (N) (pada kenyataannya, Anda mendapatkan linear diamortisasi kompleksitas untuk eksponensial M). Saya tidak ingat referensi, tapi saya pikir itu bisa seperti ini:

Pertama tambahkan 2 ^ N input fiktif yang hanya konstanta 0 ... 2 ^ N-1 dan sekarang menunjukkan input N-bit ke-i oleh xi (jadi untuk i <= 2 ^ N kita memiliki xi = i, dan untuk 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M kami memiliki input asli). Sekarang kita membuat triplet untuk masing-masing input M + 2 ^ N: (i, xi, fi) di mana fi adalah f (i) untuk input 2 ^ N pertama (sebuah konstanta yang tertanam di dalam sirkuit) dan fi = "*" jika tidak. Sekarang kita mengurutkan kembar tiga (i, xi, fi) sesuai dengan kunci xi, dan biarkan triplet j'th menjadi (i_j, x_j, f_j) dari ini kita menghitung triplet (i_j, x_j, g_j) dengan membiarkan g_j menjadi f_j jika f_j bukan "*" dan biarkan g_j menjadi g_ (j-1) sebaliknya. Sekarang urutkan kembali kembar tiga baru sesuai dengan kunci i_j, dan Anda mendapatkan jawaban yang benar di tempat yang benar.

$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"Jaringan menghitung fungsi Boolean untuk beberapa nilai input"

$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Saya tidak dapat menemukan salinan yang tidak dikunci online, atau beranda untuk penulis, tetapi saya menemukan makalah ini dalam proses ini:

Kompleksitas Fungsi Boolean (Seri Catatan Ceramah Masyarakat Matematika London)

Mengenai kompleksitas Aljabar, saya tidak tahu contoh di mana kompleksitas eksponensial turun ke kompleksitas diamortisasi sub-eksponensial, tetapi setidaknya ada contoh sederhana bahwa kompleksitas salinan disjoint M dapat secara signifikan kurang dari M kali kompleksitas salinan tunggal. :

Untuk matriks A "acak" n * n, kompleksitas bentuk bilinear didefinisikan oleh A, (fungsi f_A (x, y) = xAy, di mana x dan y adalah 2 vektor panjang n) adalah Omega (n ^ 2 ) - ini dapat ditunjukkan oleh argumen dimensi "menghitung-seperti" karena Anda memerlukan n ^ 2 "tempat" di sirkuit untuk meletakkan konstanta. Namun, mengingat n pasangan vektor yang berbeda (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n), Anda dapat memasukkan x ke dalam baris matriks n * n X, dan demikian pula dengan y ke dalam kolom dari matriks Y, dan kemudian baca semua jawaban x ^ iAy ^ i dari diagonal XAY, di mana ini dihitung dalam operasi n ^ 2.3 (atau lebih) menggunakan perkalian matriks cepat, secara signifikan kurang dari n * n ^ 2.

Ini dipelajari dan diselesaikan oleh Wolfgang Paul yang pada dasarnya menunjukkan apa yang dibicarakan berlaku.