Tentang derandomisasi pengujian identitas polinomial

Dalam pengujian identitas polinomial kami mencari algoritma deterministik untuk menyimpulkan kesetaraan dua polinomial . Melakukan derandomisasi yang dikenal dengan algoritma acak yang efisien dan menghasilkan algoritma deterministik yang efisien adalah masalah terbuka yang penting. Apakah ada masalah lengkap untuk PIT sehingga derandomisasi pengujian identitas untuk kelas polinomial satu ini memecahkan masalah terbuka ini? Jika tidak, apakah ada kelas polinomial tempat masalah ini diselesaikan dan kelas di mana mereka terbuka?$g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

[tl;dr] Banyak yang diketahui, dan ini adalah area yang sangat aktif! [/tl;dr]

Penting untuk menentukan representasi polinomial input, karena mereka diberikan sebagai daftar koefisien atau monomial bukan nol, masalahnya sepele. Jadi orang biasanya mengasumsikan polinomial diberikan sebagai sirkuit aritmatika (alias program garis lurus). Dan kasus umum sebenarnya bermuara pada pengujian apakah polinomial yang diberikan adalah nol polinomial.

Ada dua pengaturan utama yang telah dipelajari: kotak whitebox di mana seseorang memiliki sirkuit aritmatika dan dapat memeriksanya, dan kotak blackbox di mana seseorang mengetahui beberapa hal tentang sirkuit (ukuran, tingkat formal, ...) tetapi tidak bisa memeriksanya, hanya mengevaluasinya pada beberapa nilai.

Berikut adalah beberapa batasan pada sirkuit yang telah dipelajari:

• $2$$3$$4$$3$$4$
• Fan-in atas / bawah: Untuk sirkuit dengan kedalaman terbatas, banyak hasil telah dibuktikan ketika fan-in (atau arity, yaitu jumlah input ke gerbang tertentu) baik dari gerbang atas atau gerbang bawah dibatasi.
• Pembatasan lain seperti terikat pada berapa kali variabel digunakan juga telah dipelajari.

Ini survei yang dilakukan oleh Nitin Saxena adalah sumber yang baik untuk hasil ini. Catat bahwa itu sudah lebih dari satu tahun (!), Dan ini adalah area yang sangat aktif. Jadi hasil terbaru tidak tercakup.

Akhirnya, ada hubungan antara derandomisasi PIT dan derandomisasi masalah lain:

• Normalisasi Lemma Noether , oleh Ketan D. Mulmuley;
• Faktorisasi Polinomial Multivarian , oleh Swastik Kopparty, Shubhangi Saraf dan Amir Shpilka.