Bukti untuk kompleksitas Kolmogorov tidak dapat dihitung menggunakan reduksi

Saya mencari bukti bahwa kompleksitas Kolmogorov tidak dapat dihitung menggunakan pengurangan dari masalah lain yang tidak dapat dihitung. Bukti umum adalah formalisasi paradoks Berry daripada reduksi, tetapi harus ada bukti dengan mengurangi dari sesuatu seperti Masalah Putus, atau Masalah Korespondensi Post.

computability reductions kolmogorov-complexity

— Krishna Chikkala
sumber

Jawaban:

Anda dapat menemukan dua bukti berbeda di:

Gregory J. Chaitin, Asat Arslanov, Cristian Calude: Kompleksitas ukuran Program Menghitung Masalah yang Terputus. Buletin EATCS 57 (1995)

Dalam Li, Ming, Vitányi, Paul MB; Pengantar Kompleksitas Kolmogorov dan Penerapannya disajikan sebagai latihan (dengan petunjuk tentang bagaimana menyelesaikannya yang dikreditkan ke P. Gács oleh W. Gasarch dalam komunikasi pribadi 13 Feb 1992).

** Saya memutuskan untuk menerbitkan versi panjangnya di blog saya .

— Marzio De Biasi
sumber

Lebih lanjut, bukti Chaitin (dalam tautan itu) menunjukkan bahwa permintaan oracle dapat dibuat secara paralel.

$\;\;\;\;$

Apakah bukti-bukti ini benar-benar Mengurangi reduksi (satu ke satu (atau) satu ke banyak)? Saya bingung !! tolong bantu saya

— Krishna Chikkala

@ KrishnaChikkala: yang pertama pasti pengurangan Turing . Saya menemukan itu tidak begitu jelas, jadi saya memutuskan untuk menerbitkan versi panjangnya di blog saya . Jika Anda ingin melihatnya (dan beri tahu saya melalui email jika Anda berpikir itu dapat diperbaiki). Juga perhatikan bahwa pengurangan Turing berbeda dari banyak-satu pengurangan (yang merupakan pengurangan "lebih kuat"); memang jawaban Joe Bebel membuktikan bahwa pengurangan seperti itu tidak ada.

— Marzio De Biasi

Ini adalah pertanyaan yang menyenangkan untuk dipikirkan. Seperti dijelaskan dalam jawaban lain dan komentar di bawah ini, ada pengurangan Turing dari masalah Menghentikan ke komputasi kompleksitas Kolmogorov, tetapi terutama tidak ada pengurangan banyak-satu, setidaknya untuk satu definisi 'komputasi kompleksitas Kolmogorov'.

Mari kita secara resmi mendefinisikan apa yang kita bicarakan. Misalkan menunjukkan bahasa standar TM yang berhenti ketika diberikan deskripsi tentang diri mereka sebagai input. Mari masing menunjukkan . $HALT$ $KO$ $\{ \langle x,k \rangle \mid x \text{ has Kolmogorov complexity exactly } k \}$

$HALT \le KO$ $f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}^*$ $HALT$ $f$ $f(HALT)$

$f(HALT)$ $\langle x,k\rangle$ $x$ $k$ $k$ $f(HALT)$ $k$ $f(HALT)$

$HALT$ $f(HALT)$ $k$ $f(HALT)$ $\langle x,k\rangle$ $k$ $M$ $k$ $\langle x,k \rangle \in f(HALT)$

$M'$ $|M'|$ $M$ $|M'|+1$ $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$ $x$

$x$ $M'$ $|M'|$ $\langle x, |M'|+1\rangle \in f(HALT)$

$k$ $k$

— Joe Bebel
sumber

Tapi bagaimana dengan pengurangan Turing?

— Sasho Nikolov

R

$R$

S

$S$

⟨ x, k ⟩ \in K O

$\langle x,k\rangle \in KO$

H A L T

$HALT$

R

$R$

K O

$KO$

⟨ x, k ⟩ \in K O

$\langle x,k\rangle \in KO$

S

$S$

k

$k$

R

$R$

⟨ x, k ⟩

$\langle x,k\rangle$

R

$R$

Beberapa tempat mengklaim bahwa kompleksitas Kolmogorov setara dengan masalah Halting, misalnya catatan Miltersen daimi.au.dk/~bromille/DC05/Kolmogorov.pdf . Jika itu benar, harus ada pengurangan Turing. Omong-omong pengurangan Turing dari kompleksitas Kolmogorov ke Masalah Henti adalah mudah dan memberikan bukti berbeda bahwa menghentikan itu tidak dapat diputuskan.

— Sasho Nikolov

H A L T \leq_{T} K O

$HALT\le_T KO$

H A L T \equiv_{T} K O

$HALT\equiv_T KO$