Aplikasi untuk teori himpunan, teori ordinal, kombinatorik tak terbatas dan topologi umum dalam ilmu komputer?

15

Saya seorang ahli matematika yang tertarik pada teori himpunan, teori ordinal, kombinatorik tak terbatas dan topologi umum.

Apakah ada aplikasi untuk mata pelajaran ini dalam ilmu komputer? Saya telah melihat sedikit, dan menemukan banyak aplikasi (tentu saja) untuk teori graf hingga, topologi terbatas, topologi dimensi rendah, topologi geometris dll.

Namun, saya mencari aplikasi objek tak terbatas dari subjek ini, yaitu pohon tak terbatas ( pohon Aronszajn misalnya), topologi tak terbatas dll.

Ada ide?

Terima kasih!!

set-theory topology topological-graph-theory

— pengguna135172
sumber

1

lihat juga Penerapan subjek teori himpunan sebagai tata cara, pemaksaan, filter generik dalam rekayasa perangkat lunak cs.se

— vzn

2

Selain jawaban yang bagus dari Neel, Anda mungkin juga tertarik dengan ordinals yang dapat dihitung, yang memainkan peran menarik dalam teori komputabilitas: en.wikipedia.org/wiki/Recursive_ordinal

— Joshua Grochow

21

Salah satu aplikasi utama topologi dalam semantik adalah pendekatan topologi untuk komputasi.

Ide dasar topologi komputabilitas berasal dari pengamatan bahwa terminasi dan nonterminasi tidak simetris. Dimungkinkan untuk mengamati apakah program kotak hitam berakhir (cukup tunggu cukup lama), tetapi tidak mungkin untuk mengamati apakah itu tidak berakhir (karena Anda tidak pernah bisa memastikan Anda belum menunggu cukup lama untuk melihatnya berakhir). Hal ini terkait dengan melengkapi dua set point {HALT, LOOP} dengan topologi Sierpinski, di mana $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$ adalah set terbuka. Jadi pada dasarnya kita bisa menyamakan "set terbuka" dengan "properti yang dapat dihitung". Satu kejutan dari pendekatan terhadap topologi tradisional ini adalah peran sentral yang dimainkan oleh ruang-ruang non-Hausdorff. Ini karena Anda pada dasarnya dapat membuat identifikasi berikut

\begin{matrix} C Hai m hal kamu t Sebuah b saya l saya t y & T Hai hal Hai l Hai g y \\ Tipe & Ruang \\ Fungsi yang dapat dihitung & Fungsi terus menerus \\ Set yang dapat ditentukan & Set Clopen \\ Set semi-decidable & Set terbuka \\ Setel dengan pelengkap yang dapat dipilih kembali & Set tertutup \\ Diatur dengan kesetaraan yang dapat ditentukan & Ruang diskrit \\ Tetapkan dengan kesetaraan semidecidable & Ruang Hausdorff \\ Perangkat yang dapat dicari secara menyeluruh & Ruang kompak \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

Dua survei yang bagus dari ide-ide ini adalah Topologi MB Smyth dalam Handbook of Logic dalam Ilmu Komputer dan topologi sintetis Martin Escardo tentang tipe data dan ruang klasik .

Metode topologis juga memainkan peran penting dalam semantik konkurensi, tetapi saya tahu sedikit tentang itu.

— Neel Krishnaswami
sumber

Terima kasih atas jawaban Anda yang mencerahkan! Akan saya lihat.

— user135172

Apakah mungkin mencari topologi yang lebih baik untuk hierarki polinomial saja?

— T ....

1

Aplikasi yang menarik dari ide-ide ini dapat ditemukan di serangkaian posting "Program fungsional yang tampaknya mustahil" - math.andrej.com/2007/09/28/… , math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible -proofs

— jkff

1

N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

4

Hadiah Gödel 2004 dibagikan di antara makalah:

Struktur Topologi Komputasi Asinkron .
Oleh Maurice Herlihy dan Nir Shavit, Jurnal ACM, Vol. 46 (1999), 858-923
Perjanjian Bebas-Tunggu k-Set Tidak Mungkin: Topologi Pengetahuan Publik .
Oleh Michael Saks dan Fotios Zaharoglou, SIAM J. pada Computing, Vol. 29 (2000), 1449-1483.

Kutipan dari Hadiah Gödel 2004:

Kedua makalah ini menawarkan salah satu terobosan paling penting dalam teori komputasi terdistribusi.

Penemuan sifat topologi komputasi terdistribusi memberikan perspektif baru pada area tersebut dan merupakan salah satu contoh paling mencolok, mungkin dalam semua matematika terapan, tentang penggunaan struktur topologi untuk mengukur fenomena komputasi alami.

Posting terkait: Aplikasi topologi untuk ilmu komputer

— Hengxin
sumber

3

Meskipun ini tentu besar aplikasi topologi di TCS, mereka benar-benar aplikasi dari "kombinatorial / algebraic topology" daripada apa yang saya pikir OP dimaksud dengan "topologi umum" (yang lebih banyak di titik-teori / set-teori / logis arena).

— Joshua Grochow

4

Perilaku sistem reaktif sering dimodelkan menggunakan struktur tak hingga (pohon perhitungan tak terbatas dan tak terhingga) dan sifat temporal (sifat keselamatan dan daya tahan) juga dikarakterisasi menggunakan topologi.

Mendefinisikan Life Alpern dan Schneider

Keamanan dan Hidup dalam Waktu Percabangan Manolios et. Al.

— Mitesh J
sumber