ETH: k-SAT vs SAT?

$_v$$[v] = \{0,1,\dots,v-1\}$$k$$k$$k$$_v$s ∞ = lim k → ∞ s $s_k = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } k\text{-SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\infty = \lim_{k \to \infty} s_k$. Agar ini masuk akal, kita harus berasumsi bahwa ada batasan yang masuk akal pada ukuran input dalam hal jumlah variabel; jika tidak, seseorang dapat mengulangi klausa untuk memaksa $s_k$ dan $s_\infty$ menjadi sebesar yang diinginkan. Jadi anggap klausa tidak diulang.

Perhatikan bahwa setiap rumus $k$ -CNF memiliki ukuran paling banyak $O(v^k)$ , sehingga ukuran formula input tidak penting ketika mempertimbangkan eksponen yang linier dalam $v$ . Kemudian mengikuti $s_3 \le s_4 \le \dots \le s_\infty$ .

Hipotesis Waktu Eksponensial (ETH) adalah pernyataan bahwa $s_k > 0$ untuk beberapa $k\ge 3$ . Urutan $(s_k)$ meningkat tak terhingga sering jika ETH bertahan. Strong ETH (SETH) adalah pernyataan yang $s_\infty \ge 1$ atau $s_\infty = 1$ , tergantung pada referensi yang digunakan.

Sebaliknya, setiap instance dari $_v$ berisi hingga $3^v$ klausa yang berbeda (setiap variabel dapat positif, negatif, atau tidak ada di setiap klausa). Karenanya sebuah input mungkin memiliki panjang $\Omega(2^{n\log 3})$ bahkan jika tidak ada klausa yang diulang, jadi ini adalah batas bawah untuk waktu membaca input, dan kemudian juga untuk keseluruhan waktu.

Jika kita kemudian membiarkan , jelas bahwa hanya dengan mempertimbangkan ukuran input. Bahkan jika seseorang membutuhkan formula input untuk tidak mengandung klausa yang digolongkan oleh yang lain, . Dengan algoritma trivial, ini juga merupakan kasus yang .s ω ≥ log 3 > 1.58 s ω ≥ 1.5 s ω ≤ 1 + log $s_\omega = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } \text{SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\omega \ge \log 3 \gt 1.58$$s_\omega \ge 1.5$$s_\omega \le 1+\log 3$

Mengapa ada celah antara dan , dengan asumsi SETH?s $s_\infty$$s_\omega$

Dalam beberapa hal hanyalah cara yang berbeda untuk mengambil batas, jadi sepertinya membingungkan bahwa harus ada celah.$s_\omega$

• Russell Impagliazzo dan Ramamohan Paturi, On the Complexity of -SAT$k$ , JCSS 62 367-375, 2001. doi: 10.1006 / jcss.2000.1727 ( pracetak )
• Evgeny Dantsin dan Alexander Wolpert, Pada Waktu yang Sedang Eksponensial untuk SAT , SAT 2010, LNCS 6175 313–325. doi: 10.1007 / 978-3-642-14186-7_27 ( pracetak )
• Chris Calabro, Russell Impagliazzo dan Ramamohan Paturi, Kompleksitas Kepuasan Sirkuit Kedalaman Kecil , IWPEC 2009, LNCS 5917 75-85. doi: 10.1007 / 978-3-642-11269-0_6 ( pracetak )
• Marek Cygan, Holger Dell, Daniel Lokshtanov, Dániel Marx, Jesper Nederlof, Yoshio Okamoto, Ramamohan Paturi, Saket Saurabh, Magnus Wahlström, Mengenai Masalah-Masalah Keras seperti CNF-SAT , arXiv: 1112.2275v3 , 27 Mar 2014.

Perbedaan antara definisi Anda adalah bahwa lebar klausa di dibiarkan tumbuh dengan jumlah variabel, sedangkan untuk itu besar sewenang-wenang tetapi konstan.s $s_\omega$$s_\infty$

Ini masalah yang sama seperti PH vs PSPACE. Jika Anda mengambil jumlah konstan perubahan kuantifikasi sewenang-wenang Anda mendapatkan hierarki polinomial, tetapi jika Anda mengizinkan rumus untuk sepenuhnya dikuantifikasi Anda mendapatkan masalah PSPACE-complete.

Cara yang lebih baik untuk mendefinisikan eksponen ini adalah jika Anda bertanya tentang waktu berjalan dalam bentuk , di mana adalah polinomial sewenang-wenang dari ukuran input. Kemudian artefak seperti ukuran menghilang.p o l y ( | F | ) 3 $c^n\cdot poly(|F|)$$poly(|F|)$$3^v$