Bukti bahwa PPAD sulit?

Ada justifikasi filosofis yang sering dikutip untuk meyakini bahwa P! = NP bahkan tanpa bukti. Kelas kompleksitas lainnya memiliki bukti bahwa mereka berbeda, karena jika tidak, akan ada konsekuensi "mengejutkan" (seperti runtuhnya hierarki polinomial).

Pertanyaan saya adalah, apa dasar untuk keyakinan bahwa kelas PPAD tidak bisa ditembus? Jika ada algoritma waktu polinomial untuk menemukan kesetimbangan Nash, akankah ini menyiratkan apa pun tentang kelas kompleksitas lainnya? Apakah ada argumen heuristik mengapa itu harus sulit?

PPAD cukup "rendah" di atas P dan tidak banyak yang akan berubah dalam pemahaman kita tentang kompleksitas jika ditunjukkan sama dengan P (kecuali bahwa beberapa masalah dalam PPAD sekarang akan berada di P). "Bukti" utama bahwa PPAD! = P adalah pemisahan oracle, yang pada dasarnya setara dengan fakta kombinatorial bahwa tidak ada "simulasi kotak hitam" ada.

Buhrman et al. menunjukkan ada oracle relatif di mana semua fungsi TFNP adalah poly-time computable, namun Hirarki Polinomial tidak terbatas. TFNP adalah kelas yang berisi PPAD dan sepupunya. Ini adalah hasil lain yang memperkuat perasaan kami bahwa PPAD yang mudah tidak akan menghasilkan konsekuensi yang tidak mungkin dalam kompleksitas.

Makalah ini adalah "Apakah Hirarki Polinomial Turun jika Fungsi Ke Atas Tidak Terbalik?"

tersedia di situs web Lance Fortnow. Tampaknya versi sebelumnya dari makalah ini berjudul "Melompat ke fungsi dan hierarki polinomial" (versi baru di bawah nama lama ini di situs Lance).

(Saya kira tidak ada yang pernah menjawab pertanyaan lama ini dengan hasil yang lebih baru; ini dia :)

• $\mathsf{PPAD}$
• $\mathsf{PPAD}$

$\mathsf{PPAD}$

Meskipun ini telah terbentur, mungkin saya dapat memiliki kesombongan untuk menyebutkan heuristik yang muncul dalam pikiran.

Masalah NP-complete adalah, diberikan sirkuit, apakah ada input yang mengevaluasi ke True?

• Masalah ini jelas akan mudah jika input diwakili "secara eksplisit" sebagai daftar pasangan input-output, daripada "ringkas" sebagai sirkuit.

• Masalahnya jelas informasi-secara teori sulit jika inputnya adalah fungsi oracle black-box daripada sirkuit (membutuhkan mencoba semua input).

• Masalah dalam memisahkan P dari NP, jika benar, terletak pada menunjukkan bahwa program tidak dapat memotong sirkuit secara efisien.

Masalah lengkap PPAD berbagi beberapa karakteristik menarik di sini. Jika Anda memikirkan End-of-the-Line, itu "diberi grafik yang diwakili secara ringkas dengan beberapa batasan, dan sebuah sumber, cari wastafel". Dan itu berbagi tiga poin di atas, saya pikir.

Makalah ini relevan dengan ini, karena berupaya menunjukkan bahwa PPAD = P: https://arxiv.org/abs/1609.08934