Partisi tepi menjadi segitiga pelangi

Saya ingin tahu apakah masalah berikut ini NP-hard.

Input: grafik sederhana, dan pewarnaan pada tepian ( tidak memverifikasi properti spesifik apa pun).f : E → { 1 , 2 , 3 } $G = (V,E)$$f : E \to \{1,2,3\}$$f$

Pertanyaan: apakah mungkin untuk membagi menjadi segitiga, sehingga setiap segitiga memiliki satu tepi setiap warna?| E | /$E$$|E|/3$

Saya tahu bahwa tanpa warna masalah "partisi tepi" sebuah grafik ke dalam , adalah NP-hard (lihat The NP-Completeness dari Beberapa Edge-Partition Problems ) tetapi dengan warna yang saya tidak tahu. n ≥ $K_n$$n \geq 3$

Saya juga akan tertarik pada hasil untuk edge partitioniong menjadi pelangi , dengan sebuah konstanta. Tentu saja, dalam hal ini masalahnya menjadi:$K_c$$c$

Input: grafik sederhana, dan pewarnaan dari edge ( tidak memverifikasi properti spesifik apa pun) .f : E → { 1 , … , c ( c - 1 ) / 2 } $G = (V,E)$$f : E \to \{1,\ldots,c(c-1)/2\}$$f$

Pertanyaan: apakah mungkin untuk partisi menjadi , sehingga setiap klik memiliki satu tepi dari masing-masing warna?$E$$|E|/(c(c-1)/2)$ $K_c$$K_c$

Saya mengikuti tautan dalam pertanyaan, dan pengurangan di sana benar-benar menghasilkan grafik yang ujung-ujungnya memiliki pewarnaan alami sehingga setiap $K_n$ ada dalam grafik adalah "pelangi $K_n$ " (memiliki tepat satu tepi dari setiap warna). Dengan kata lain, kita dapat dengan mudah menyesuaikan pengurangan pada kertas itu sehingga mengurangi masalah Anda alih-alih mengurangi ke partisi menjadi masalah $K_n$ : cukup berikan masing-masing tepi warna sesuai dengan pewarnaan alami ini dan kemudian grafik dapat dipartisi menjadi "rainbow $K_n$ s" jika dan hanya jika itu dapat dipartisi menjadi $K_n$ sama sekali.

Struktur dasar reduksi dalam makalah itu dapat dicapai dengan 3 langkah berikut:

1. Buat banyak salinan dari grafik tertentu $H_{n,p}$ .
2. Mengidentifikasi potongan tertentu beberapa salinan $H_{n,p}$ dengan satu sama lain (simpul yaitu merge / tepi antara beberapa salinan yang berbeda dari $H_{n,p}$ ).
3. Hapus simpul / tepi tertentu dari beberapa salinan.

Grafik $H_{n,p}$ memiliki sebagai simpul set panjang- $n$ vektor modulo $p$ yang komponen menambah $0$ mod $p$ . Tepi menghubungkan setiap dua simpul yang berbeda dalam dua komponen dengan perbedaan $+1$ dan $-1$ dalam dua komponen.

Saya mengusulkan pewarnaan berikut untuk grafik ini: memberikan warna ke setiap tepi sesuai dengan arahnya. Jika $x$ dan $y$ adalah simpul yang berdekatan, maka $x-y$ adalah vektor dengan $n-2$ komponen sama dengan $0$ , satu komponen sama dengan $1$ dan satu komponen sama dengan $-1$ . Dengan kata lain, untuk setiap sisi $(x, y)$ ada ${n \choose 2}$ opsi untuk komponen$x-y$yang bukan nol. Jika kita menetapkan warna unik untuk masing-masing opsi ini, maka kita memiliki pewarnaan untuk semua tepi sehingga setiap tepi dalam arah yang sama memiliki warna yang sama. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa tidak ada dua sisi dalam$K_n$di$H_{n,p}$berada di arah yang sama. Oleh karena itu setiap$K_n$di$H_{n,p}$adalah pelangi$K_n$bawah pewarnaan ini.

Ketika kita mengikuti reduksi, kita menggunakan pewarnaan ini untuk setiap salinan $H_{n,p}$ . Oleh karena itu pada akhir langkah 1 dalam daftar di atas, setiap $K_n$ dalam grafik adalah pelangi $K_n$ .

Pada langkah 2 dari daftar di atas, kami mengidentifikasi beberapa simpul / tepi satu sama lain. Secara khusus, dalam reduksi kami selalu mengidentifikasi $K_n$ dengan $K_n$ . Tetapi dalam situasi ini (di mana semua $K_n$ berasal dari salinan $H_{n,p}$ ), setiap $K_n$ dapat berupa terjemahan dari "standar $K_n$ " yang disebut oleh $K$ atau terjemahan dari $-K$ . Oleh karena itu, kami mengidentifikasi dua $K_n$ s paralel atau dua $K_n$s yang "membalik" satu sama lain. Dalam kedua kasus tersebut, tepi yang diidentifikasi melintasi dua $K_n$ adalah paralel dan oleh karena itu warnanya sama. Sebagai contoh, lihat Gambar 2 di kertas; tepi yang diidentifikasi selalu paralel. Jadi, karena kita tidak pernah mencoba mengidentifikasi dua tepi warna yang berbeda, pewarnaan pada akhir langkah 1 dalam daftar di atas dapat secara alami diperluas menjadi pewarnaan pada akhir langkah 2. Mengidentifikasi simpul / tepi tertentu bersama-sama tidak menciptakan setiap $K_n$ baru , jadi masih merupakan kasus di akhir langkah ini bahwa setiap $K_n$ adalah pelangi $K_n$ .

Akhirnya pada langkah 3 kita menghapus beberapa simpul / tepi, yang juga tidak membuat $K_n$ baru . Jadi, kita memiliki properti yang diinginkan: di bawah pewarnaan yang saya berikan, setiap $K_n$ dalam grafik yang dihasilkan oleh reduksi ini adalah pelangi $K_n$ .