Apa yang dimaksud dengan kamus Theory-Domain Theory bagus?

Ketika berurusan dengan kategori teori domain (katakanlah CPO dan CPO), saya sering berharap untuk kamus untuk bahasa teori kategori dalam teori domain. $\omega$

Artinya, diberikan konsep, katakan panah monic, saya bisa mencarinya di kamus dan melihat apa karakterisasi yang diketahui dalam kategori domain yang berbeda.

Saya menyadari keinginan ini terlalu banyak untuk diharapkan, tetapi apakah ada teks atau sumber daya yang mendekati itu?

— Ohad Kammar
sumber

Jawaban:

Sumber daya terbaik untuk ini adalah bab buku pegangan Abramsky dan Jung. Saya ingat mereka memiliki tabel yang mereferensikan silang berbagai konstruksi dan kategori domain, dengan entri yang mengatakan apakah konstruksi bekerja dalam kategori itu dan properti apa yang dimilikinya. Namun, sifat panah seperti menjadi monic cenderung tidak memiliki penokohan yang sangat licin, karena ketersediaan domain datar cenderung memastikan bahwa mereka sering tidak jauh berbeda dari rekan set-theoretik mereka. OTOH, properti yang memanfaatkan struktur urutan (seperti menjadi pasangan penyematan-proyeksi) cenderung memiliki penokohan yang cukup cantik.

Satu hal kecil yang harus diperhatikan adalah bahwa sebenarnya ada dua definisi CPO yang umum digunakan! Konsumen teori domain (seperti saya) sering lebih suka bekerja dengan rantai omega, karena rantai adalah objek yang cukup konkret; sedangkan produsen teori domain (seperti, eh, penasihat Anda) cenderung lebih suka bekerja dengan set diarahkan, yang lebih umum dan memiliki sifat aljabar yang lebih baik. (Begitu saja saya tidak yakin apakah membatasi ke set diarahkan memiliki basis yang dapat dihitung setara dengan kondisi rantai omega.)

Sesuatu yang saya temukan sangat membantu dalam membangun kamus semacam ini adalah bekerja melalui solusi persamaan domain rekursif dalam beberapa kategori hal yang bukan domain. Dua pilihan yang baik adalah kategori PER (misalnya dalam model polimorfisme) dan presheave (misalnya, untuk alokasi nama). Ruang metrik adalah kemungkinan lain, tetapi saya menemukan mereka terlalu mirip dengan domain untuk membantu saya membangun intuisi.

— Neel Krishnaswami
sumber

Ya, saya kenal dengan bab Abramsky et al., Dan khususnya tabel kata. Seperti yang Anda katakan, mereka menggambarkan struktur dasar (produk, jumlah, eksponensial, dll.), Tetapi daftarnya jauh dari komprehensif.

— Ohad Kammar

Pertanyaan muncul di benak saya ketika saya membahas beberapa kemungkinan untuk definisi, dan kami perlu membandingkan konsep kategorikal yang berbeda (beberapa gagasan tentang panah monik, tepatnya). Saya sedikit terkejut ketika saya menyadari bahwa metodologi kami adalah dengan cepat menentukan karakterisasi yang nyaman menggunakan intuisi, artikel-artikel lama, dan buku apa pun yang muncul di benak kami, terutama ketika gagasan-gagasan itu bukanlah gagasan kategorikal yang tidak jelas. Tentu saja, metode ini disebut "keahlian" (yang saya kekurangan), tetapi sebagai seorang programmer saya merasa bahwa mungkin ada cara yang lebih baik untuk melakukannya.

— Ohad Kammar

λ

$\lambda$

ω

$\omega$

ω

$\omega$

Anda mungkin ingin melihat Smyth dan Plotkin 1982, "Pada Solusi Kategori-Teoretis dari Persamaan Domain Rekursif", atau beberapa makalah Paul Taylor (saya lupa referensi yang tepat), atau Andy Pitts, 1996 "Properti Relasional dari Domain". Makalah ini semua melakukan hal-hal melalui penokohan abstrak top-down dari properti yang dibutuhkan. Saya, saya menemukan makalah ini agak terlalu abstrak untuk saya sampai saya telah mengerjakan rincian konkret dalam beberapa contoh. Lalu mereka jelas!

— Neel Krishnaswami

Markowsky 1977, Kategori poset lengkap rantai memiliki tabel yang bagus untuk beberapa varian CPO.

— Ohad Kammar

Saya tidak yakin ada satu. Namun ada banyak buku bagus tentang Teori Kategori dan bahkan lebih banyak catatan kuliah, dengan kualitas yang bervariasi. Wikipedia juga memiliki cukup banyak informasi yang dapat dipercaya tentang Teori Kategori dan Teori Domain . Sumber daya internet lain yang bagus adalah nCatLab , meskipun lebih mengarah ke teori kategori dimensi tinggi.

Referensi teori domain yang bagus adalah S. Abramsky, A. Jung (1994). "Teori domain". Dalam S. Abramsky, DM Gabbay, TSE Maibaum, editor, (PDF). Buku Pegangan Logika dalam Ilmu Komputer. AKU AKU AKU. Oxford University Press. ISBN 0-19-853762-X.

Buku-buku tentang teori kategori yang sebenarnya saya lihat adalah:

Awodey, Steve (2006). Kategori Teori (Oxford Logic Guides 49). Oxford University Press. Edisi ke-2, 2010. Pengantar terbaru yang bagus, condong ke arah ilmu komputer
Barr, Michael; Wells, Charles "Kategori Teori untuk Ilmu Komputasi." Sulit didapat, artinya, tidak tersedia dari Amazon
Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997). Matematika konseptual: pengantar kategori pertama. Cambridge University Press. Pengantar yang menyenangkan, mungkin tidak cukup dalam
Mac Lane, Saunders (1998). Kategori untuk Matematika yang Bekerja. Lulusan Teks dalam Matematika 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Mungkin terlalu matematis
Pierce, Benjamin (1991). Teori Kategori Dasar untuk Ilmuwan Komputer. MIT Press. Mungkin terlalu mendasar
Taylor, Paul (1999). Yayasan Praktis Matematika. Cambridge University Press. Cukup komprehensif; mengambil perspektif logis

Buku-buku lain tersedia online seperti Topos Barr & Well , Triples, dan Teori dan Jiri Adámek, Horst Herrlich, dan Kategori Abstrak dan Beton George E. Strecker - The Joy of Cats . Ini cenderung mengandung semua definisi yang Anda butuhkan, setidaknya dari sisi teori kategori.

— Dave Clarke
sumber

Terima kasih atas jawaban komprehensifnya. Namun, seperti yang Anda katakan, cukup mudah untuk menemukan materi tentang teori domain dan teori kategori. Dan, sebenarnya, cukup banyak. Tapi itulah masalahnya, pengetahuan tersebar di begitu banyak halaman buku, konvensi, dan notasi, sehingga mengaksesnya (bahkan dengan Google) menjadi non-sepele. Saya kira perbedaannya adalah antara memiliki rak yang penuh dengan buku teks versus buku referensi yang bagus yang hanya mengutip hubungan dan kutipan.

— Ohad Kammar

Salah satu pendekatan untuk memecahkan masalah ini untuk generasi mendatang adalah menulis kamus Anda sendiri dengan istilah-istilah seperti yang Anda temui.

— Dave Clarke

Mungkin mengembangkan versi ncatlab kita sendiri ?

— Uday Reddy

Bagaimana dengan menanyakan penasihat Anda? Dia menemukan sebagian besar teori domain.

— Andrej Bauer
sumber

terkekeh-kekeh Seperti yang saya katakan di atas, pikiran muncul di benak kami ketika kami mendiskusikan beberapa konsep teori kategori dalam domain yang berbeda. Pikiran persis saya adalah: pasti harus ada cara yang lebih baik daripada meminta seorang ahli membaca sekilas seluruh literatur atau menebak-nebak ...

— Ohad Kammar