Apakah treewidth

Biarkan $k$ diperbaiki, dan biarkan $G$ menjadi grafik (terhubung). Jika saya tidak salah, itu berasal dari karya Bodlaender [1, Teorema 3.11] bahwa jika treewidth $G$ kira-kira setidaknya $2k^3$ , maka $G$ berisi bintang $K_{1,k}$ sebagai minor.

Bisakah kita membuat istilah $2k^3$ lebih kecil? Artinya, apakah mengatakan treewidth setidaknya $k$ sudah menyiratkan keberadaan $K_{1,k}$ minor? Apakah ada bukti di suatu tempat?

[1] Bodlaender, HL (1993). Pada tes minor waktu linear dengan pencarian kedalaman-pertama. Jurnal Algoritma, 14 (1), 1-23.

graph-theory treewidth graph-minor

— Juho
sumber

Hasil terkait longgar dari Demaine dan Hajiaghayi : Untuk grafik tetap

H

$H$ , setiap grafik bebas-

H

$H$ ukuran kecil dari treewidth

w

$w$ memiliki grafik grid minor

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$ .

— mhum

@mhum konstanta dalam

Ω

$\Omega$ tergantung secara eksponensial pada

| H |

$|H|$ , jadi langsung menerapkan ini akan memberi lebih buruk dari

2 k^{3}

$2k^3$ terikat.

— daniello

@aniello Memang benar demikian. Konstanta tidak terlalu bagus dan spesialisasi untuk grafik bebas-

juga tidak bagus. Saya hanya ingin menunjukkan hasil yang samar-samar terkait.

H

$H$

— mhum

Memang benar bahwa setiap graf tanpa minor memiliki treewidth paling . Kami membuktikan ini di bawah, pertama beberapa definisi: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

Mari menjadi treewidth dari dan menjadi ukuran maksimum sebuah klik di . Grafik adalah triangulasi jika adalah subgraf dan adalah chordal (yaitu tidak memiliki siklus terinduksi pada setidaknya simpul). Sebuah triangulasi dari adalah triangulasi minimal jika tidak ada subgraf tepat juga merupakan triangulasi . Subset dari simpul $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

Rumus di atas menyiratkan bahwa untuk membuktikan bahwa cukup untuk membuktikan bahwa semua klik maksimal potensial memiliki ukuran paling banyak . Kami sekarang buktikan ini. Biarkan menjadi klik maksimal potensial , dan anggaplah . $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

Kita akan menggunakan karakterisasi klik-klik maksimum potensial berikut: himpunan simpul adalah klik maksimal potensial dalam jika, dan hanya jika, untuk setiap pasangan , simpul tidak berbatasan (berbeda) dalam terdapat jalur dari ke di dengan semua simpul internal di luar . Karakterisasi ini dapat ditemukan di makalah Treewidth dan Minimum Fill-in: Mengelompokkan Pemisah Minimal oleh Bouchitte dan Todinca. $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

Dengan karakterisasi ini adalah mudah untuk menurunkan kecil dari . Biarkan . Untuk setiap vertex , baik adalah tepi atau ada jalur dari ke dengan semua simpul internal yang luar . Untuk semua yang tidak berdekatan dengan kontrak semua simpul internal menjadi . Kita berakhir dengan minor di mana berdekatan dengan semua , dan $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ . Jadi, derajat dalam minor ini setidaknya , melengkapi buktinya. $u$ $k$

— daniello
sumber

Daniel terima kasih! Apakah Anda tahu kalau argumen yang sama (atau hasilnya, benar-benar) telah diterbitkan di suatu tempat?

— Juho

Saya tidak punya referensi, tapi sepertinya saya ingat bahwa argumen yang mirip (mungkin kurang ketat) untuk grafik gratis ditulis di suatu tempat. Sayangnya saya tidak memiliki pointer yang lebih konkret.

K_{2, r}

$K_{2,r}$

— daniello