Apakah 1-in-3 SAT tetap NP-keras bahkan jika setiap variabel terjadi positif dan negatif?

Masalah standar 1-in-3 SAT (atau XSAT atau X3SAT) adalah:
Instance : rumus CNF dengan setiap klausa yang mengandung tepat 3 liter
Pertanyaan : apakah ada pengaturan penugasan yang memuaskan tepatnya 1 liter per klausa benar?

Masalahnya adalah NP-lengkap dan tetap sulit bahkan jika tidak ada variabel yang dinegasikan. Saya bertanya-tanya apakah masalah ini menjadi mudah atau tetap sulit jika setiap variabel diharuskan untuk muncul setidaknya satu kali secara positif dan setidaknya satu kali secara negatif .

Pengurangan biasa dari 3SAT menunjukkan bahwa 1-in-3 SAT sulit menggantikan klausa dengan klausa , , mana $(x\lor y \lor z)$ $(\lnot x \lor a \lor b)$ $(y\lor b\lor c)$ $(\lnot z \lor c \lor d)$ $a,b,c,d$ segar untuk setiap klausa. Dengan demikian, pengurangan ini tidak membantu dalam menjawab pertanyaan saya. Saya mengalami masalah dengan gadget yang menunjukkan kekerasan varian ini, karena jika tepat 1 literal dalam klausa benar, maka 2 liter yang non-simetris adalah salah. Jika ternyata mudah, berpikir dalam hal partisi set klausa mungkin bisa melakukannya, tetapi saya tidak bisa melihat caranya.

cc.complexity-theory np-hardness sat

— Dominik Peters
sumber

Bisakah dikurangi menjadi 2 sat?

— Joshua Herman

X_{i}

$X_i$

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$

Bolehkah saya mendorong Anda untuk menulis jawaban lengkap untuk pertanyaan Anda sendiri, mungkin berdasarkan ide Neal young? (Kebetulan, saya tidak yakin mengapa itu "tidak memuaskan". Pengurangan adalah pengurangan.)

— DW

Jika kasus khusus itu adalah yang benar-benar Anda pedulikan, maka mungkin masuk akal untuk mengedit pertanyaan Anda untuk mencerminkan kendala ekstra itu?

— DW

Dalam komentar, OP menyatakan minatnya pada pengurangan yang menghasilkan contoh dengan 3 variabel berbeda per klausa. Inilah pendekatan sederhana:

Pengurangannya dari 1-in-3 SAT dengan 3 variabel berbeda per klausa:

Pertama-tama, sertakan semua klausa dalam formula input sebagai klausa dalam formula output.
$F_1$ $F_2$ $F_3$ $(\neg F_1, F_2, F_3)$ $(F_1, \neg F_2, F_3)$ $(F_1, F_2, \neg F_3)$
$x$ $x'$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$

Mari kita verifikasi bahwa pengurangan ini melakukan apa yang kita inginkan. Properti berikut adalah yang kami inginkan:

Setiap klausa selalu memiliki tiga variabel berbeda.
Setiap variabel terjadi dalam beberapa klausa secara positif dan dalam beberapa klausa negatif.
Rumus input setara dengan rumus output.

$F_1$ $F_2$ $F_3$

$F_1$ $F_2$ $F_3$ $F_i$ $F_1$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$ $x' = \neg x$ $x'$ $x'$ $x$ $F_i$

— Mikhail Rudoy
sumber