Pertimbangkan masalah di mana kita diberikan sebagai input grafik asiklik langsung , fungsi pelabelan dari ke beberapa set dengan urutan total (misalnya, bilangan bulat), dan di mana kita diminta untuk hitung jenis topologi terkecil dari segi . Lebih tepatnya, semacam topologi dari adalah penghitungan sebagai , sehingga untuk semua , setiap kali ada jalur dari v i ke v j di G , maka kita harus memiliki i < j . The label dari seperti semacam topologi adalah urutan elemen dari S diperoleh sebagai l = λ ( v 1 ) , ... , λ ( v n ) . Urutan leksikografis pada sekuens semacam itu (yang semuanya memiliki panjang | V | ) didefinisikan sebagai l < LEX IFF ada beberapa posisisayasehingga l i < L l ' i dan l j = l ' j untuk semuaj<i. Perhatikan fakta bahwa setiap label dalamSdapat ditetapkan ke banyak simpul dalamV(jika tidak masalahnya masalahnya sepele).
Masalah ini dapat dinyatakan dalam varian komputasi ("hitung jenis topologi minimal leksikografis") atau dalam varian keputusan ("apakah kata input ini jenis topologi minimal?"). Pertanyaan saya adalah, apa kompleksitas masalah ini ? Apakah di PTIME (atau di FP, untuk varian perhitungan) atau apakah NP-hard? Jika masalah umum NP-hard, saya juga tertarik tentang versi di mana himpunan dari label mungkin diperbaiki sebelumnya (yaitu, hanya ada jumlah label yang mungkin konstan).
Catatan:
Berikut adalah contoh kecil dunia nyata untuk memotivasi masalah. Kita bisa melihat DAG sebagai tugas mewakili suatu proyek (dengan hubungan ketergantungan di antara mereka) dan label adalah bilangan bulat yang mewakili jumlah hari yang dibutuhkan setiap tugas. Untuk menyelesaikan proyek, saya akan membutuhkan total waktu yang sama tidak peduli urutan yang saya pilih untuk tugas-tugas tersebut. Namun, saya ingin mengesankan atasan saya, dan untuk melakukan ini saya ingin menyelesaikan banyak tugas secepat mungkin (dengan cara serakah, bahkan jika itu berarti sangat lambat pada akhirnya karena tugas yang lebih sulit tetap). Memilih urutan minimal leksikografis mengoptimalkan kriteria berikut: Saya ingin memilih pesanan sedemikian rupa sehingga tidak ada pesanan lain o ′ dan beberapa hari n setelah hari saya akan menyelesaikan lebih banyak tugas dengan pesanan o ′ daripada dengan pesanan o (yaitu, jika bos saya melihat waktu n , saya memberikan kesan yang lebih baik dengan o ′ ), tetapi untuk semua m < n saya telah menyelesaikan tugas yang tidak kurang dengan memesan o ′ daripada dengan memesan o .
Untuk memberikan beberapa wawasan tentang masalah: Saya sudah tahu dari jawaban sebelumnya bahwa masalah terkait berikut ini sulit: "adakah jenis topologi yang mencapai urutan berikut"? Namun, fakta di sini bahwa saya menginginkan urutan yang minimal untuk tatanan leksikografis ini tampaknya banyak membatasi tatanan topologi yang mungkin mencapainya (khususnya pengurangan jawaban-jawaban lain itu tampaknya tidak lagi berfungsi). Secara intuitif, ada jauh lebih sedikit situasi di mana kita punya pilihan untuk membuat.
Perhatikan bahwa tampaknya ada pengulangan menarik masalah dalam hal set cover (ketika membatasi masalah ke DAG yang bipartit, yaitu, memiliki tinggi dua): diberi satu set set, sebutkan dengan urutan yang meminimalkan urutan leksikografis | S 1 | , | S 2 ∖ S 1 | , | S 3 ∖ ( S 1 ∪ S 2 ) | , ... , | S n ∖ (. Masalahnya juga dapat diulangi pada grafik yang tidak terarah (semakin memperluas area terhubung dari grafik mengikuti urutan yang meminimalkan urutan leksikografis dari label yang terbuka). Namun, karena fakta bahwa urutanmemilikimenjadi serakah setiap saat dengan definisi dari urutan leksikografis, saya tidak bisa mendapatkan pengurangan (misalnya, pohon Steiner) bekerja.
Terima kasih sebelumnya atas ide Anda!