Kompleksitas Pelokalan di Jaringan Nirkabel

Biarkan poin berbeda duduk di . Kita katakan poin dan adalah tetangga jika | ij | <3 \ pmod {n-2} , artinya setiap titik bertetangga dengan titik dengan indeks dalam 2 , membungkus.R 2 i $1 ... n$$\mathbb{R}^2$$i$$j$$|i-j| < 3 \pmod{n-2}$$2$

Masalahnya adalah:

Untuk setiap pasangan tetangga, kami diberi jarak berpasangan (dan kami tahu jarak mana yang sesuai dengan titik mana), dan kami ingin merekonstruksi jarak berpasangan dari semua titik. Pertanyaan saya adalah, apa kompleksitas masalah pelokalan ini?

Saya tidak tahu algoritma waktu polinomial.

Ini dimotivasi oleh masalah dalam pelokalan dalam jaringan sensor , di mana agen, ditempatkan ad-hoc, dapat berkomunikasi secara nirkabel dengan tetangga leksikografis mereka, dan kami ingin merekonstruksi posisi mereka.

Saya tidak tahu banyak tentang masalah geometri / lokalisasi, jadi ini mungkin mudah atau diketahui. Masalah terdekat yang saya tahu adalah masalah Turnpike , baru-baru ini ditunjukkan di forum ini oleh @Suresh Venkat.

(Saya tidak punya jawaban nyata, tapi ini terlalu panjang untuk dikomentari, jadi tetap posting di sini ...)

Saya menduga bahwa masalahnya adalah NP-keras, dengan pengurangan dari masalah jumlah subset. Ide pembuktian:

Reduksi: jika elemen ke- dalam instance jumlah himpunan bagian adalah , maka jarak antara node dan adalah , jarak antara dan adalah , jarak antara dan juga , dan jarak antara dan adalah .$i$$x_i$$2i-1$$2i$$s$$2i-1$$2i+1$$x_i$$2i$$2i+2$$x_i$$2i$$2i+1$$\sqrt{s^2 + x_i^2}$

Asumsikan tepi antara dan untuk semua adalah vertikal. Kemudian seluruh grafik terdiri dari rantai persegi panjang dengan diagonal. Namun, Anda dapat "membalik" setiap kotak sehingga berada di sisi kiri atau sisi kanan . Dan Anda perlu menemukan subset flips yang tepat sehingga jarak antara simpul terakhir dan simpul adalah "benar" (dan jarak antara dan benar dan jarak antara dan benar).$2i-1$$2i$$i$$2i+2$$2i$$2i$$n = 2k$$2$$2k-1$$1$$2k-1$$2$

Sejauh ini bagus, tapi persegi panjang kami tidak terlalu kaku; kita juga bisa membalik diagonal. Namun, saya pikir jika kita memilih nilai jahat , maka mungkin kita bisa menunjukkan bahwa semuanya berjalan mengerikan salah jika kita pernah membalik sepanjang diagonal (misalnya, koordinat tidak akan rasional)? Ini mungkin memerlukan beberapa penyesuaian dalam nilai .$s$$2k$$x_i$

Ini sebenarnya NP-hard. Lihat kertas berikut untuk referensi.

Sriram V. Pemmaraju, Imran A. Pirwani: Realisasi Virtual Berkualitas Baik dari Grafik Bola Unit. ESA 2007: 311-322

Drineas et al. menulis makalah Distance Matrix Reconstruction dari Informasi Jarak Tidak Lengkap untuk Lokalisasi Jaringan Sensor . Tetapi apa yang mereka capai mungkin tidak persis seperti yang Anda minta: mereka menghitung seluruh peta jarak dari yang tidak lengkap, bahkan di hadapan gangguan noise dan node.