Apa bukti yang ada bahwa Graph Isomorphism tidak ada dalam ?

Termotivasi oleh komentar Fortnow pada posting saya, Bukti bahwa masalah Graph Isomorphism bukan -complete$NP$ , dan oleh fakta bahwa adalah kandidat utama untuk -intermediate problem (bukan -complete atau ), saya tertarik pada bukti yang diketahui bahwa tidak dalam .$GI$$NP$$NP$$P$$GI$$P$

Salah satu bukti tersebut adalah - dari masalah Automorfisme Grafik terbatas (masalah automorfisme grafik bebas titik-tetap adalah lengkap). Masalah ini dan generalisasi lainnya dipelajari dalam " Beberapa masalah NP-lengkap mirip dengan Graph Isomorphism " oleh Lubiw. Beberapa mungkin berpendapat sebagai bukti fakta bahwa meskipun lebih dari 45 tahun tidak ada yang menemukan algoritma waktu polinomial untuk .$NP$$NP$$GI$$GI$

Bukti apa lagi yang harus kita percaya bahwa tidak ada dalam ?$GI$$P$

Sebelum pertanyaan ini, pendapat saya adalah bahwa Grafik Isomorfisme mungkin ada di P, yaitu bahwa tidak ada bukti untuk percaya bahwa GI tidak ada dalam P. Jadi saya bertanya pada diri sendiri apa yang akan dianggap sebagai bukti bagi saya: Jika ada algoritma dewasa untuk - grup isomorfisme yang sepenuhnya mengeksploitasi struktur -group yang tersedia dan masih tidak memiliki harapan untuk mencapai runtime polinomial, maka saya akan setuju bahwa GI mungkin tidak dalam P. Ada algoritma yang dikenal yang mengeksploitasi struktur yang tersedia seperti pengujian Isomorfisme untuk - kelompok. oleh O'Brien (1994)$p$$p$$p$, tapi saya belum membacanya secara cukup rinci untuk menilai apakah ia sepenuhnya mengeksploitasi struktur yang tersedia, atau apakah ada harapan untuk meningkatkan algoritma ini (tanpa mengeksploitasi struktur grup tambahan yang tidak jelas ) untuk mencapai runtime polinomial.$p$

Tetapi saya tahu bahwa Dick Lipton menyerukan tindakan menjelang akhir 2011 untuk mengklarifikasi kompleksitas komputasi dari masalah isomorfisma kelompok secara umum, dan tentang masalah kelompok isomorfisma secara khusus. Jadi saya mencari Google$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

untuk melihat apakah seruan untuk bertindak telah berhasil. Itu memang:

1. Masalah Isomorfisme Kelompok: Kemungkinan Masalah Polymath?
2. Kemajuan Kelompok Isomorfisme
3. Tiga Dari CCC: Kemajuan pada Isomorfisme Kelompok

Posting terakhir mengulas makalah yang mencapai runtime untuk keluarga penting kelompok tertentu, mengeksploitasi banyak struktur yang tersedia, dan mengakui makalah yang disebutkan di atas dari tahun 1994. Karena runtime terikat kompatibel dengan pengalaman bahwa grafik isomorfisma tidak sulit dalam praktiknya, dan dengan pengalaman bahwa tidak ada yang dapat menghasilkan algoritma waktu polinomial (bahkan untuk isomorfisme grup), ini dapat dihitung sebagai bukti bahwa GI tidak ada dalam P.$n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

The smallest set of permutations you have to check to verify that no non-trivial permutations exist in a black box setting is better than $n!$ but still exponential, OEIS A186202.

The number of bits needed to store an unlabeled graph is $log_{2}$ of ${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$. See Naor, Moni. "Succinct representation of general unlabeled graphs." Discrete Applied Mathematics 28.3 (1990): 303-307. The compression method proof is a bit cleaner if I recall. Anyway, lets call that set $U$. Let $L=2^{{n\choose 2}}$ for labeled graphs.

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

$U^L$ and $Bool^{L^{L}}$ if you convert to exponentials. Just examining their type signatures putting graphs in canonical form looks easier, but as shown above GC makes GI easy.

Kozen in his paper, A clique problem equivalent to graph isomorphism, gives an evidence that $GI$ is not in $P$. The following is from the paper:

"Nevertheless, it is likely that finding a polynomial time algorithm for graph isomorphism will be as difficult as finding a polynomial time algorithm for an NP-complete problem. In support of this claim, we give a problem equivalent to graph isomorphism, a small perturbation of which is NP-complete."

Also, Babai in his recent breakthrough paper Graph Isomorphism in quasipolynomial time gives an argument against the existence of efficient algorithms for GI. He observes that the group isomorphism problem (which is reducible to GI) is a major obstacle to placing GI in $P$. Group Isomorphism problem ( groups are given by their Cayley tableis) is solvable in $n^{O(\log n)}$ and it is not known to be in $P$.

Here is an excerpt from Babai's paper:

The result of the present paper amplifies the significance of the Group Isomorphism problem (and the challenge problem stated) as a barrier to placing GI in P. It is quite possible that the intermediate status of GI (neither NP-complete, nor polynomial time) will persist.

here are other results not cited yet

• On the hardness of Graph Isomorphism / Torán FOCS 2000 and SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

  We show that the graph isomorphism problem is hard under DLOGTIME uniform AC⁰ many-one reductions for the complexity classes NL, PL (probabilistic logarithmic space) for every logarithmic space modular class Mod_kL and for the class DET of problems NC¹ reducible to the determinant. These are the strongest known hardness results for the graph isomorphism problem and imply a randomized logarithmic space reduction from the perfect matching problem to graph isomorphism. We also investigate hardness results for the graph automorphism problem.

• Graph Isomorphism is not AC⁰ reducible to Group Isomorphism / Chattopadhyay, Toran, Wagner

  We give a new upper bound for the Group and Quasigroup Isomorphism problems when the input structures are given explicitly by multiplication tables. We show that these problems can be computed by polynomial size nondeterministic circuits of unbounded fan-in with O(log log n) depth and O(log² n) nondeterministic bits, where n is the number of group elements. This improves the existing upper bound from [Wol94] for the problems. In the previous upper bound the circuits have bounded fanin but depth O(log² n) and also O(log² n) nondeterministic bits. We then prove that the kind of circuits from our upper bound cannot compute the Parity function. Since Parity is AC⁰ reducible to Graph Isomorphism, this implies that Graph Isomorphism is strictly harder than Group or Quasigroup Isomorphism under the ordering defined by AC⁰ reductions.