Kompleksitas menemukan titik Borsuk-Ulam


10

The Borsuk-Ulam Teorema mengatakan bahwa untuk setiap terus menerus aneh fungsi dari n-bola ke dalam Euclidean n-space, ada titik sehingga .x 0 g ( x 0 ) = 0gx0g(x0)=0

Simmons dan Su (2002) menjelaskan metode untuk memperkirakan titik menggunakan lemma Tucker . Namun, tidak jelas apa kompleksitas run-time dari metode mereka.x0

Misalkan kita diberi oracle untuk fungsi dan faktor aproksimasi . Apa kompleksitas run-time (sebagai fungsi dari ) dari:ϵ > 0 ngϵ>0n

  1. Menemukan titik seperti ?| g ( x ) | < ϵx|g(x)|<ϵ
  2. Menemukan titik sedemikian rupa sehingga , ketika adalah titik yang memuaskan ?| x - x 0 | < ϵ x 0 g ( x 0 ) = 0x|xx0|<ϵx0g(x0)=0

1
Apakah ini pada mesin RAM Nyata ?

Jawaban:


5

Papadimitriou menunjukkan bahwa versi dari masalah ini adalah PPAD-lengkap dalam makalah yang memperkenalkan kelas itu, "Tentang kompleksitas argumen paritas dan bukti keberadaan yang tidak efisien lainnya" .

Rumusan masalahnya adalah:

Borsuk-Ulam. Diberikan bilangan bulat n dan mesin Turing yang menghitung untuk setiap titik dengan dan (permukaan bola ), sebuah fungsi dengan . Cari dengan .- n x in max | x i | = n L 1 f ( p ) f ( p ) 1P=(x1,,xd)nxinmax|xi|=nL1f(p) x| f(x)-f(-x)| 1f(p)1Knx|f(x)f(x)|1n2

(Sidenote - berkali-kali ketika Anda melihat tipe teorema titik-tetap, PPAD adalah tebakan yang baik untuk kompleksitas menemukannya ...)


4

Bagaimana oracle itu diberikan dan apa yang kita ketahui tentang ? Jika oracle adalah kotak hitam dan kita hanya tahu bahwa adalah aneh terus menerus, maka sudah untuk kita mungkin memerlukan banyak pertanyaan ...g n = 1ggn=1

Jika oracle diberikan oleh beberapa mesin Turing, maka Anda mengerti bahwa masalahnya adalah Anda

  1. Selesaikan FIXP,

  2. PPAD-lengkap,

di mana ukuran input adalah panjang . Untuk pengantar tentang hal ini, lihat http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf .ϵ

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.