ukuran sirkuit terkecil menggunakan gerbang XOR


15

Misalkan kita diberi satu set n variabel boolean x_1, ..., x_n dan satu set fungsi m y_1 ... y_m di mana setiap y_i adalah XOR dari subset (diberikan) dari variabel-variabel ini. Tujuannya adalah untuk menghitung jumlah minimum operasi XOR yang perlu Anda lakukan untuk menghitung semua fungsi y_1 ... y_m ini.

Perhatikan bahwa hasil operasi XOR, katakanlah x_1 XOR x_2 dapat digunakan dalam perhitungan beberapa y_j tetapi dihitung sebagai satu. Juga, perhatikan bahwa mungkin berguna untuk menghitung XOR dari koleksi x_i yang jauh lebih besar (lebih besar dari fungsi y_i apa pun, misalnya menghitung XOR semua x_i) untuk menghitung y_i lebih efisien,

Secara ekivalen, misalkan kita memiliki matriks biner A, dan vektor X dan tujuannya adalah untuk menghitung vektor Y sedemikian sehingga AX = Y di mana semua operasi dilakukan dalam GF (2) menggunakan jumlah minimum operasi.

Bahkan ketika setiap baris A memiliki tepat k seseorang (katakanlah k = 3) menarik. Adakah yang tahu tentang kompleksitas (kekerasan perkiraan) untuk pertanyaan ini?

Mohammad Salavatiopur

Jawaban:


18

Ini NP-hard. Lihat: Joan Boyar, Philip Matthews, René Peralta. Teknik Minimisasi Logika dengan Aplikasi untuk Kriptologi. http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

Pengurangan dari Vertex Cover dan sangat bagus.

Diberi grafik dengan m = | E | , Mendefinisikan m × ( n + 1 ) matriks A sebagai: A [ i , j ] = 1 jika j < n + 1 ] = 1 . Dengan kata lain, diberikan n + 1 variabel x 1 , ... ,({1,,n},E)m=|E|m×(n+1)AA[i,j]=1 dan ( i , j ) E , dan A [ i , nj<n+1(i,j)EA[i,n+1]=1n+1 kita ingin menghitung mx1,,xn+1m linear bentuk untuk semua ( i , j ) E .xi+xj+xn+1(i,j)E

Sedikit pemikiran menunjukkan bahwa ada sirkuit XOR untuk dengan gerbang fan-in dua menghitung transformasi linear A dengan hanya gerbang m + k , di mana k adalah penutup simpul optimal untuk grafik. (Pertama menghitung x i ' + x n + 1 untuk semua i ' di penutup vertex, menggunakan k operasi. Bentuk linear kemudian semua dihitung dalam m operasi yang lebih.) Ternyata ini juga merupakan rangkaian ukuran minimum!AAm+kkxi+xn+1ikm

Bukti bahwa pengurangan itu benar tidak begitu baik. Saya ingin melihat bukti singkat bahwa pengurangan ini benar.


Terima kasih Ryan. Makalah yang sangat relevan. Saya pikir apakah masalahnya bisa sekeras vertex-cover dalam hypergraphs setidaknya untuk kasus Anda tidak menghasilkan jumlah XOR yang lebih besar (apa yang disebut bebas pembatalan dalam makalah ini saya pikir).
Mohammad R. Salavatipour

3
Untuk kasus bebas-pembatalan, kekerasan NP dicatat di Garey-Johnson dengan nama yang agak tidak jelas "Ensemble Computation" (Masalah PO9, dalam A11.1). Pengurangan ini sebenarnya sama dengan yang digariskan oleh Ryan, lihat Bagian 3.2.2 di GJ.
Janne H. Korhonen
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.