Konstan dalam dugaan Komlos

8

Diberikan vektor dengan di setiap , dugaan Komlos menyatakan bahwa, ada (tidak bergantung pada ) sedemikian rupa sehingga pada beberapa , $n$ $v_1,\dots,v_n\in\Bbb R^N$ $\|v_i\|_2^2\leq1$ $i\in\{1,\dots,n\}$ $c\in\Bbb R$ $n,N$ $\epsilon\in\{-1,+1\}^n$ Apabatas bawahterbaik yangdikenal untuk?

‖ \sum_{i = 1}^{n} ϵ_{i} v_{i} ‖_{\infty} < c .

$\Big\|\sum_{i=1}^n\epsilon_iv_i\Big\|_\infty<c.$

c

$c$

Batas atas terbaik adalah . $c=O(\sqrt{\log n})$

Apakah ada satu set contoh untuk untuk setiap mana dugaan Komlos gagal? $c=1+\delta$ $\delta>0$

co.combinatorics extremal-combinatorics

— T ....
sumber

Cara mudah untuk melihat bahwa

harus minimal

c

$c$

adalah mempertimbangkan vektor

\frac{3}{2}

$\frac{3}{2}$

,

\frac{1}{2} (1, 1, 1, 1)

$\frac{1}{2}(1,1,1,1)$

, dan

\frac{1}{2} (1, 1, - 1, - 1)

$\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)$

. Tidak yakin apakah ini membutuhkan jawaban.

\frac{1}{2} (1, - 1, 1, - 1)

$\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)$

— Klaus Draeger

@ KlausDraeger Ya itu terjadi jika Anda juga bisa memberi tahu logika di balik contoh. Saya bisa melihat bagaimana Anda telah membangun ini.

— T ....

8

Cara sederhana untuk mendapatkan batas bawah adalah untuk mempertimbangkan pasang vektor. Pertama-tama, masuk akal untuk fokus pada pasangan unit vektor yang semuakombinasi -Linear yang selama mungkin (catatan bahwa ini hanya sebuah kasus khusus yang menarik, saya tidak mengatakan bahwa itu adalah opotimal dengan cara apa pun). Ini dicapai ketikaadalah ortogonal, dan dengan memeriksa rotasi yang mungkin kami temukan bahwa $c\ge\sqrt{2}$ $u,v\in\mathbb{R}$ $\{-1,1\}$ $u,v$ menunjukkan bahwaharus setidaknya $u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1), v=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ $c$ . $\sqrt{2}$

Contoh ini dapat digeneralisasi untuk set vektor , di manakoefisien-thdariadalahjikadigit binerdalamadalah, dansebaliknya. $V_k=\{2^{-\frac{k}{2}}v_{i,k}\ |\ 0\le i\le k\}\subseteq\mathbb{R}^{2^k}$ $j$ $(v_{i,k})_j$ $v_{i,k}$ $1$ $i-th$ $j$ $0$ $-1$

$\infty$ $\{-1,1\}$ $V_k$ $(k+1)2^{-\frac{k}{2}}$ $\frac{3}{2}$ $k=2$

$V_2=\{\frac{1}{2}(1,1,1,1),\frac{1}{2}(1,1,-1,-1),\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)\}$

Mungkin ada batas bawah yang lebih baik, tapi ini awal.

— Klaus Draeger
sumber

c

$c$

4

$v_i$ $c \geq \frac{4}{\sqrt{6}} \approx 1.633$

M = \frac{1}{\sqrt{6}} (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 1 & - 1 & 1 & - 1 \end{matrix})

$M = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

— Chris Jones
sumber

-3

$O(\sqrt{\log n})$

— Yossi Lonke
sumber

7

c

$c$

2

Turbo: Ok, jadi Anda telah mengoreksi formuation Anda, tetapi masih kurang presisi matematis, karena untuk semua yang kita tahu, dugaan Komlos mungkin salah, sehingga mungkin tidak ada "nilai terkecil seperti" untuk c, karena set adalah tidak dibatasi di bawah ini. Sekarang jika pertanyaan Anda adalah sesuatu seperti "Dengan asumsi bahwa dugaan Komlos itu benar, berapakah yang paling rendah dari huruf c"? maka jawaban yang paling dikenal saat ini adalah "Saya tidak tahu." usul: Itu interpretasi yang bagus. Saya tidak berpikir ada orang yang melihatnya dengan mendalam. Dalam beberapa percobaan ad-hoc yang saya lakukan, saya menemukan bahwa ada contoh tandingan untuk c = 2.

— Yossi Lonke

@ Turbo Mengapa Anda tidak menghapus seluruh posting?

— Yossi Lonke