Permutasi dengan urutan terlarang

Biarkan menyatakan himpunan dan C (n, k) menunjukkan himpunan semua kombinasi elemen dari tanpa pengulangan. Misalkan menjadi -tupel dalam . Kami mengatakan bahwa permutasi $[n]$ $\{1,...,n\}$ $k$ $[n]$ $p= p_1p_2...p_k$ $k$ $C(n,k)$ dari himpunan menghindari jika tidak ada k-tupel bilangan bulat sedemikian rupa sehingga $\pi:[n]\rightarrow [n]$ $[n]$ $p$ $i_1<i_2<...<i_k$

π (i_{1}) = p_{1}, π (i_{2}) = p_{2}, . . ., π (i_{k}) = p_{k} .

$\pi(i_1) = p_1, \;\;\pi(i_2)=p_2,\;\; ...,\;\;\pi(i_k) = p_k.$

Sebagai contoh, jika maka permutasi menghindari sebagai urutan, sedangkan permutasi tidak. $n=5$ $12453$ $134$ $\mathbf{1}2\mathbf{3}5\mathbf{4}$

Pertanyaan: Biarkan menjadi konstanta. Mengingat satu set dari -tuples, menemukan permutasi yang menghindari setiap -tuple di . $k$ $S\subset C(n,k)$ $k$ $\pi:[n]\rightarrow [n]$ $k$ $S$

Apakah ada algoritma untuk masalah ini yang jumlahnya banyak dalam dan ? Di sini diberikan dalam unary. Algoritma yang berjalan dalam waktu akan baik-baik saja. $|P|$ $n$ $n$ $n^{f(k)}|P|^{g(k)}$
Atau apakah ini masalah NP-complete?

Referensi apa pun untuk masalah ini, atau saran algoritme dipersilahkan. Perhatikan bahwa gagasan permutasi yang menghindari urutan yang didefinisikan di atas tidak sama dengan gagasan permutasi yang menghindari pola di mana hanya urutan relatif unsur-unsur yang penting, dan yang tampaknya dipelajari dengan baik dalam kombinatorik.

reference-request co.combinatorics permutations

— Mateus de Oliveira Oliveira
sumber

Apakah maksud Anda mengambil permutasi secara acak dan memverifikasi apakah itu tidak melanggar kendala dalam S? Algoritma waktu polinomial acak akan lebih baik daripada tidak sama sekali. k diasumsikan sebagai konstanta, jadi menurut definisi kecil. Tetapi saya tidak melihat bagaimana itu akan bekerja secara efisien jika S memiliki banyak kendala. Karena dengan jawaban David, masalahnya adalah NPC untuk k = 3, saya agak skeptis bahwa algoritma acak akan lebih efisien. Bisakah Anda jelaskan sedikit ide Anda?

— Mateus de Oliveira Oliveira

Maaf, saya lupa bahwa Anda memiliki satu set tuple terlarang. Tidak ada jaminan bahwa sampel penolakan akan efisien.

— DW

Ini NP-lengkap untuk dengan pengurangan dari antara . Dalam masalah ketersinggungan, satu diberikan item untuk dipesan secara total, dan kendala pada beberapa item lipat tiga yang memaksa satu item dari triple berada di antara dua item lainnya. Dalam masalah Anda, kendala yang sama dapat dipaksakan dengan melarang semua berikutnya pada tiga elemen yang tidak menempatkan elemen tengah di tengah. Namun, ketersamaan diketahui sebagai NP-complete: lihat J. Opatrny, Masalah pemesanan total, SIAM J. Comput. , 8 (1979), hlm. 111–114. $k=3$ $n$

— David Eppstein
sumber