Apakah ada masalah alami dalam waktu kuasi-polinomial, tetapi tidak dalam waktu polinomial?

László Babai baru-baru ini membuktikan bahwa masalah Graph Isomorphism berada dalam masa quasipolynomial . Lihat juga ceramahnya di University of Chicago, catatan dari pembicaraan oleh Jeremy Kun GLL pos 1 , GLL pos 2 , GLL pos 3 .

Menurut teorema Ladner, jika , maka tidak kosong, yaitu berisi masalah yang tidak ada di atau -complete. Namun, bahasa yang dibangun oleh Ladner adalah buatan dan bukan masalah alami. Tidak ada masalah alami yang diketahui berada di bahkan secara kondisional di bawah . Tetapi beberapa masalah diyakini sebagai kandidat yang baik untuk , seperti bilangan bulat Anjak dan GI.$P \neq NP$$NPI$$NP$$P$$NP$$NPI$$P \neq NP$$NPI$

Kita mungkin berpikir bahwa dengan hasil Babai, mungkin ada algoritma waktu polinomial untuk GI. Banyak ahli percaya bahwa .$NP \not\subseteq QP = DTIME(n^{poly\log n})$

Ada beberapa masalah yang kita ketahui algoritma waktu kuasi-polinomial, tetapi tidak ada algoritma waktu polinomial yang diketahui. Masalah seperti itu muncul dalam algoritma aproksimasi; contoh yang terkenal adalah masalah Steiner tree yang diarahkan, di mana ada algoritma aproksimasi waktu kuasi polinomial yang mencapai rasio aproksimasi $O(\log^3 n)$ ( $n$ menjadi jumlah simpul). Namun, menunjukkan keberadaan algoritma waktu polinomial seperti itu merupakan masalah terbuka.

Pertanyaan saya:

Apakah kita tahu ada masalah alami yang ada di $QP$ tetapi tidak di $P$ ?

Faktanya, ada cukup banyak karya terbaru untuk membuktikan kuasi-polinomial waktu berjalan lebih rendah untuk masalah komputasi, sebagian besar didasarkan pada hipotesis waktu eksponensial. Berikut adalah beberapa hasil untuk masalah yang saya anggap wajar (semua hasil di bawah ini tergantung pada ETH):

• Aaronson, Impagliazzo dan Moshkovitz [1] menunjukkan waktu kuasi-polinomial yang lebih rendah untuk masalah kepuasan kendala padat (CSP). Perhatikan bahwa cara CSP didefinisikan dalam makalah ini memungkinkan domain menjadi besar secara polinomi, karena kasus di mana domain tersebut kecil diketahui memiliki PTAS.

• Braverman, Ko dan Weinstein [2] membuktikan waktu kuasi-polinomial lebih rendah untuk menemukan -terbaik -memproksimasi kesetimbangan Nash, yang cocok dengan algoritma Lipton et al. [3].$\epsilon$$\epsilon$

• Braverman, Ko, Rubinstein dan Weinstein [4] menunjukkan waktu kuasi-polinomial batas bawah untuk mendekati subgraph terpadat dengan kelengkapan sempurna (yaitu diberi grafik yang berisi -clique, menemukan subgraf dengan ukuran yaitu -dense untuk konstanta kecil ). Sekali lagi, ada algoritma waktu kuasi-polinomial untuk masalah (Feige dan Seltser [5]).k k ( 1 - ε ) $k$$k$$k$$(1 - \epsilon)$$\epsilon$

Referensi

1. AM dengan beberapa Merlin. Dalam Computational Complexity (CCC), Konferensi IEEE 29th 2014, halaman 44–55, Juni 2014.

2. Mark Braverman, Young Kun Ko, dan Omri Weinstein. Mendekati keseimbangan nash terbaik di - waktu mematahkan hipotesis waktu eksponensial. Dalam Prosiding Simposium ACM-SIAM Tahunan ke-26 ke-26 tentang Algoritma Diskrit, SODA '15, halaman 970–982. SIAM, 2015.$n^{o(log n)}$

3. Richard J. Lipton, Evangelos Markakis, dan Aranyak Mehta. Bermain game besar menggunakan strategi sederhana. Dalam Prosiding Konferensi ACM ke-4 tentang Perdagangan Elektronik, EC '03, halaman 36–41, New York, NY, AS, 2003. ACM.

4. Mark Braverman, Young Kun-Ko, Aviad Rubinstein, dan Omri Weinstein. Kekerasan ETH untuk Densest- Subgraph dengan kelengkapan sempurna. Kolokium Elektronik tentang Kompleksitas Komputasi (ECCC), 22:74, 2015.$k$

5. U. Feige dan M. Seltser. Pada masalah subgraph terpadat . Laporan teknis, 1997.$k$

Megiddo dan Vishkin membuktikan bahwa set dominasi Minimum dalam turnamen ada di . Mereka menunjukkan bahwa set yang mendominasi turnamen memiliki algoritma P-waktu jika SAT memiliki algoritma waktu sub-responsif. Oleh karena itu, turnamen yang mendominasi masalah himpunan tidak dapat dalam kecuali ETH salah.$QP$$P$

Sangat menarik untuk dicatat bahwa hipotesis waktu eksponensial secara simultan menyiratkan bahwa set dominasi turnamen tidak dapat memiliki algoritma waktu polinomial dan tidak dapat lengkap$NP$ . Dengan kata lain, ETH menyiratkan bahwa set yang mendominasi turnamen ada di -intermediate.$NP$

Woeginger menyarankan masalah kandidat diselesaikan dalam waktu kuasi-polinomial dan mungkin tidak memiliki algoritma waktu polinomial: Diberikan bilangan bulat, dapatkah Anda memilih dari mereka yang menambahkan hingga ?log n $n$$\log n$$0$

Komputasi dimensi VC tampaknya tidak mungkin dalam waktu polinomial, tetapi memiliki algoritma waktu quasipolynomial.

Juga, tampaknya sulit untuk mendeteksi klik ukuran ditanam dalam grafik acak, tetapi satu dapat ditemukan dalam waktu quasipolynomial; meskipun sifat dari masalah janji ini agak berbeda dari yang lain yang disebutkan.$O(\log n)$

Jika hipotesis waktu eksponensial benar (atau bahkan versi yang lebih lemah), maka seseorang tidak dapat menyelesaikan 3SAT untuk contoh dengan jumlah poliglog variabel dalam waktu polinomial. Tentu saja, waktu kuasi-polinom dapat dengan mudah menyelesaikan kasus seperti itu.

$T(n ) * \log n$$T(n)$$T(n)$

Game Solving Parity baru-baru ini terbukti berada di QP: https://www.comp.nus.edu.sg/~sanjay/paritygame.pdf

$\mu$

$NP\cap coNP$$UP\cap coUP$

Namun, makalah terbaru di atas membuat lompatan signifikan ke QP. Masih belum diketahui apakah game ini ada di P.

Dalam algoritma Klasik, pembusukan korelasi, dan nol kompleks fungsi partisi sistem banyak-tubuh kuantum oleh Aram Harrow, Saeed Mehraban, dan Mehdi Soleimanifar

algoritma klasik kuasi-polinomial waktu yang memperkirakan fungsi partisi dari sistem banyak-tubuh kuantum pada suhu di atas titik transisi fase termal

Dipersembahkan.

Tidak banyak yang bisa dikatakan di sini tentang bagian "tetapi tidak dalam waktu polinomial" dari pertanyaan. Bahkan mungkin algoritma waktu polinomial akan ditemukan kemudian, mengingat sejarah pekerjaan sebelumnya, lihat di bawah.

Bagaimana "memperkirakan fungsi partisi" terkait dengan algoritma aproksimasi? Pekerjaan sebelumnya (hlm. 11):

Ada pendekatan yang berbeda secara konseptual baru-baru ini untuk memperkirakan fungsi partisi, yang merupakan dasar dari pekerjaan ini. Pendekatan ini memandang fungsi partisi sebagai polinomial dimensi tinggi dan menggunakan ekspansi Taylor terpotong untuk memperluas solusi pada titik komputasi yang mudah ke rezim parameter non-sepele. Sejak diperkenalkan [Bar16a], metode ini telah digunakan untuk mendapatkan algoritma deterministik untuk berbagai masalah menarik seperti model Ising feromagnetik dan antiferromagnetik [LSS19b, PR18] pada grafik terikat.

termasuk

[LSS19b] Jingcheng Liu, Alistair Sinclair, dan Piyush Srivastava. Fungsi partisi Ising: nol dan pendekatan deterministik. Jurnal Fisika Statistik, 174 (2): 287–315, 2019. arXiv: 1704.06493

yang menyebutkan hal berikut pada bagian ini pada pekerjaan terkait:

Dalam garis paralel kerja, Barvinok memprakarsai studi perkiraan Taylor dari logaritma fungsi partisi, yang menyebabkan algoritma perkiraan waktu quasipolynomial untuk berbagai masalah penghitungan [6, 7, 9, 10]. Baru-baru ini, Patel dan Regts [41] menunjukkan bahwa untuk beberapa model yang dapat ditulis sebagai jumlah subgraph yang diinduksi, seseorang dapat benar-benar mendapatkan FPTAS dari pendekatan ini.

[41] V. Patel dan G. Regts. Algoritma pendekatan waktu polinomial deterministik untuk fungsi partisi dan polinomial grafik. SIAM J. Comput., 46 (6): 1893–1919, Desember 2017. arXiv: 1607.01167

Sebagai kesimpulan, "memperkirakan fungsi partisi" terkait erat dengan algoritma aproksimasi, dan telah ada algoritma aproksimasi waktu quasipolynomial untuk berbagai masalah penghitungan, dan untuk beberapa FPTAS telah diperoleh. Jadi secara keseluruhan, kelas masalah yang terkait dengan fungsi partisi ini keduanya tampaknya menghasilkan algoritma perkiraan waktu quasipolynomial, tetapi sering kali perbaikan selanjutnya mencapai waktu polinomial.