Probabilitas dua simpul yang dihubungkan oleh beberapa jalur dalam grafik berarah acak


8

Tentukan sebagai grafik berarah acak ( simpul; kami menempatkan tepi antara dua simpul dengan probabilitas ).n pG(n,p)np

Apa hasil yang diketahui untuk masalah berikut:

Perbaiki dua simpul dan . Berapa probabilitas bahwa setidaknya ada jalur (panjang paling banyak ) antara dan ? (jelas hasilnya harus fungsi , dan ). Batas atas akan bekerja juga, jika tidak ada jawaban pasti yang diketahui.u k u v n p kvukuvnpk


Nilai p yang Anda pertimbangkan?
Igor Shinkar

@IgorShinkar apakah ada bedanya? Saya tidak memiliki nomor tertentu dalam pikiran; hanya probabilitas p(0,1) .
Daniel

Apakah Anda mencoba memodifikasi pendekatan standar Erdos-Renyi, dan jika demikian apa kesulitannya?
usul

2
Sudahkah Anda mempertimbangkan menghitung jumlah jalur yang diharapkan ? Seharusnya lebih mudah untuk menghitung / memperkirakan karena linearitas harapan. Itu juga akan menjadi proksi yang baik untuk kemungkinan ada jalan. yaitu Jika jumlah jalur yang diharapkan adalah 0,01, maka dengan probabilitas setidaknya 99% tidak ada jalur. Dan jika jumlah jalan yang diharapkan adalah 100, maka saya kira ada jalan dengan probabilitas tinggi.
Thomas

iYiiE[Yi]=(n2i1)(i1)!pii(i>0)P(Xi)=P(Yi>0)=j=1P(Yi=j)E[Yi]=j=0j.P(Yi=j)i=1kE[Yi]P(i=1kXi=1)=P(i=1kYi>0)
Daniel

Jawaban:


3

Pertimbangkan proses eksplorasi BFS, yang berlangsung dalam tahap . Masukkan . Dengan , jelajahi semua tepi dari ke (di mana adalah himpunan semua simpul), dan atur untuk terdiri dari semua simpul dicapai dengan cara ini; jumlah mereka memiliki distribusi binomial yang dapat dengan mudah dihitung. Setelah langkah, periksa apakah vertex milik .kV0={u}V0,,ViViVj=0iVjVVi+1kvj=0kVj

Perhatikan bahwa proses ini persis sama baik dalam kasus yang tidak diarahkan dan diarahkan. Karenanya jawabannya, apa pun itu, identik untuk kedua model. Agaknya dalam kasus tidak diarahkan jawabannya diketahui dan dapat dilihat. Kalau tidak, Anda dapat mencoba memperkirakannya dengan memperkirakan ukurandan probabilitasnyayang milik .|Vi|v k i = 1 Vi1n1i=1k|Vi|vi=1kVi


Mengapa downvote?
Yuval Filmus

ini akan memberi kemungkinan jalur panjang persis k, paling tidak k; Apakah itu benar?
Daniel

1
Seperti yang tertulis, ini untuk varian "paling banyak".
Yuval Filmus
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.