Kontradiksi antara Teorema Ketidaklengkapan Kedua Gödel dan properti CIC milik Rossler di Gereja?

Di satu sisi, Teorema Ketidaklengkapan Kedua Gödel menyatakan bahwa teori formal yang konsisten yang cukup kuat untuk mengekspresikan pernyataan aritmatika dasar apa pun tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri. Di sisi lain, properti Church-Rosser dari sistem formal (penulisan ulang) memberi tahu kita bahwa itu konsisten, dalam arti bahwa tidak semua persamaan dapat diturunkan, misalnya, K I , karena mereka tidak memiliki normal yang sama bentuk. $\neq$

Kemudian Calculus of Inductive Constructions (CIC) dengan jelas memenuhi kedua kondisi tersebut. Itu cukup kuat untuk mewakili proposisi aritmatika (memang, -kalkulus saja sudah mampu menyandikan angka-angka Gereja dan mewakili semua fungsi rekursif primitif). Selain itu, CIC juga memiliki pertemuan atau properti Church-Rosser. Tapi: $\lambda\beta\eta$

tidakkah CIC tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri oleh teorema Incompleteness Kedua?

Atau hanya menyatakan bahwa CIC tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri di dalam sistem, dan entah bagaimana properti pertemuan adalah meta-teorema? Atau mungkin properti pertemuan CIC tidak menjamin konsistensinya?

Saya akan sangat menghargai jika seseorang dapat menjelaskan masalah-masalah itu!

Terima kasih!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
sumber

x \to y

$x \rightarrow y$

x, y \in X

$x, y \in X$

λ

$\lambda$

\neq

$\neq$

Saya tidak tahu apa-apa tentang CIC, tetapi kemungkinan yang jelas adalah bahwa itu tidak membuktikan milik Church-Rosser sendiri.

— Emil Jeřábek

Normalisasi yang kuat akan lebih dekat dengan konsistensi untuk jenis teori, bukan? CR menyiratkan bahwa ada istilah yang tidak sama, tetapi itu tidak mengecualikan penduduk yang batal. Normalisasi yang kuat tidak dapat dibuktikan secara internal ke cic sehingga teorema Godels masih berlaku

— Daniel Gratzer

Intuisi adalah bahwa biasanya mudah untuk menunjukkan bahwa tidak ada objek normal yang buruk di dalam sistem. Sekarang jika kita dapat membuktikan bahwa semua istilah memiliki bentuk normal, kita selesai. Algoritma normalisasi mudah diformalkan. Bagian yang sulit adalah untuk menunjukkan bahwa itu berakhir. Jika kita memiliki fungsi yang tumbuh cukup cepat di dalam sistem maka kita dapat menggunakannya untuk membuktikan batas atas pada penghentian algoritma normalisasi. Saya pikir buku lama Girard harus memiliki ini. Bukti dan Jenis mungkin juga. (Buku teori pembuktian bagus apa pun yang membahas fungsi total kemungkinan dari sebuah teori harus memilikinya.)

— Kaveh

$\beta\eta$ $\bot$ $\lambda$

Kedua, seperti yang ditunjukkan Emil, bahkan jika CIC memiliki properti tertentu (CR atau normalisasi), sangat mungkin bahwa CIC sendiri tidak dapat membuktikan properti itu. Dalam kasus ini, saya tidak melihat adanya ketidakkonsistenan dalam kenyataan bahwa CIC mampu membuktikan properti CR-nya sendiri, dan saya kira memang demikian (argumen kombinatorial elementer biasanya cukup untuk CR, dan argumen semacam itu jelas termasuk dalam besar kekuatan logis dari CIC). Namun, CIC tentu saja tidak membuktikan sifat normalnya sendiri, justru karena teorema ketidaklengkapan kedua.

— Damiano Mazza
sumber

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

λ

$\lambda$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$

⊥

$\bot$