Mempartisi persegi panjang tanpa merusak bagian dalam persegi panjang

$C$ adalah persegi panjang sumbu-paralel.

$C_1,\dots,C_n$ adalah persegi-sumbu paralel-paralel berpasangan-interior-disjoint sedemikian sehingga , seperti ini: $C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Sebuah partisi persegi panjang-melestarikan dari $C$ adalah partisi $C = E_1\cup\dots\cup E_N$ , sehingga $N\geq n$ , yang $E_i$ adalah sumbu-paralel persegi panjang berpasangan-interior-menguraikan, dan untuk setiap $i=1,\dots,n$ : $C_i \subseteq E_i$ , yaitu, setiap kotak yang ada terkandung dalam kotak baru yang unik, seperti ini:

Apa yang dimaksud dengan algoritma untuk menemukan partisi pengawet persegi panjang dengan kecil ? $N$

Secara khusus, apakah ada algoritma untuk menemukan partisi yang mempertahankan persegi panjang dengan bagian ? $N=O(n)$

cg.comp-geom

— Erel Segal-Halevi
sumber

JAWABAN BARU: algoritma sederhana berikut ini secara asimptotik optimal:

Regangkan masing-masing persegi panjang sewenang-wenang, semaksimal mungkin sehingga persegi panjang tetap berpasangan berpasangan. $C_i$

Jumlah lubang paling banyak adalah . Ini asimtotik optimal, karena ada konfigurasi di mana jumlah lubang setidaknya . $k-2$ $k-O(\sqrt k)$

Buktinya ada di tulisan ini .

JAWABAN TUA:

Algoritme berikut, walaupun tidak optimal, ternyata cukup untuk menemukan partisi yang mempertahankan persegi panjang dengan bagian . $N=O(n)$

Algoritma ini bekerja dengan poligon bujursangkar , yang diinisialisasi ke persegi panjang . $P$ $C$

Fase 1: Pilih persegi panjang yang berbatasan dengan batas barat (yaitu, tidak ada persegi panjang antara sisi barat dan batas barat ). Tempat dalam dan peregangan sampai menyentuh batas barat . Biarkan (untuk ) menjadi versi peregangan . Biarkan . Ulangi Fase 1 kali sampai semua $C_i$ $P$ $C_j$ $C_i$ $P$ $C_i$ $P$ $P$ $E_i$ $i=1,\dots,n$ $C_i$ $P=P\setminus E_i$ $n$ $n$ persegi panjang asli ditempatkan dan diregangkan. Pada gambar di bawah ini, urutan penempatan persegi yang mungkin adalah : $C_1,C_2,C_4,C_3$

Sekarang, adalah poligon bujursangkar (mungkin terputus), seperti ini: $P$

Saya mengklaim bahwa jumlah simpul cekung di paling banyak . Ini karena, setiap kali persegi panjang yang ditarik dihapus dari , ada 3 kemungkinan: $P$ $2n$ $P$

2 simpul cekung baru ditambahkan (seperti saat menempatkan ); $C_1,C_4$
3 simpul cekung baru ditambahkan dan 1 dihapus (seperti dengan ); $C_3$
4 simpul cekung baru ditambahkan dan 2 dihapus (seperti dengan ). $C_2$

Fase 2: Partisi menjadi persegi panjang sumbu-paralel menggunakan algoritma yang ada (lihat Keil 2000, halaman 10-13 dan Eppstein 2009, halaman 3-5 untuk ulasan). $P$

Keil mengutip teorema yang mengatakan bahwa jumlah persegi panjang dalam partisi minimal dibatasi oleh 1 + jumlah simpul cekung. Oleh karena itu, dalam kasus kami angkanya paling banyak , dan jumlah total persegi panjang di partisi adalah . $2n+1$ $N\leq 3n+1$

Algoritma ini tidak optimal. Misalnya, dalam contoh di atas memberikan sementara solusi optimal memiliki . Jadi ada dua pertanyaan yang tersisa: $N=13$ $N=5$

A. Apakah algoritma ini benar?

B. Apakah ada algoritma waktu polinomial untuk menemukan optimal , atau setidaknya perkiraan yang lebih baik? $N$

— Erel Segal-Halevi
sumber

Nah, pada fase 1, Anda menambahkan sel partisi, yang masing-masing berisi tepat satu persegi panjang awal dan tidak tumpang tindih pada yang lain. Pada fase 2, Anda mempartisi ruang yang tersisa, sehingga sel-sel yang dibuat pada fase 2 tidak memotong salah satu dari persegi panjang awal. Bukti kebenaran tampaknya cukup mudah, atau apakah saya melewatkan sesuatu?

— Boson

@ Pada titik yang saya tidak yakin pada adalah bahwa jumlah simpul cekung paling banyak . Tampaknya "jelas" bahwa hanya ada 3 kemungkinan seperti yang saya tulis, tetapi saya mungkin telah melewatkan beberapa kemungkinan lainnya.

2 n

$2n$

— Erel Segal-Halevi