Bagaimana menentukan apakah bukti membutuhkan “teknik penalaran tingkat tinggi”?

Pertanyaan:

Misalkan saya memiliki spesifikasi masalah yang terdiri dari aksioma dan tujuan (yaitu masalah bukti terkait adalah apakah tujuan tersebut memuaskan mengingat semua aksioma). Mari kita juga berasumsi bahwa masalahnya tidak mengandung inkonsistensi / kontradiksi di antara aksioma. Apakah ada cara untuk menentukan di muka (yaitu tanpa terlebih dahulu membangun bukti lengkap) bahwa membuktikan masalah akan membutuhkan "penalaran tingkat tinggi"?

Dengan "penalaran tingkat tinggi", maksud saya menerapkan langkah-langkah bukti yang membutuhkan logika tingkat tinggi untuk dituliskan. Contoh khas untuk "penalaran tingkat tinggi" adalah induksi: Menuliskan skema induksi pada prinsipnya memerlukan penggunaan logika tingkat tinggi.

Contoh:

Satu dapat menentukan masalah bukti "Apakah penambahan pada dua bilangan alami komutatif?" menggunakan logika orde pertama (yaitu mendefinisikan bilangan asli melalui konstruktor nol / succ bersama dengan aksioma standar, bersama dengan aksioma yang secara rekursif mendefinisikan fungsi "plus"). Membuktikan masalah ini membutuhkan induksi pada struktur argumen pertama atau kedua "plus" (tergantung pada definisi yang tepat dari "plus"). Bisakah saya mengetahui hal ini sebelum mencoba membuktikannya, misalnya dengan menganalisis sifat masalah input ...? (Tentu saja, ini hanya contoh sederhana untuk tujuan ilustrasi - pada kenyataannya, ini akan menarik untuk masalah bukti yang lebih sulit daripada komutatifitas plus.)

Beberapa konteks lagi:

Dalam penelitian saya, saya sering mencoba menerapkan prover teorema orde pertama otomatis seperti Vampir, eprover dll untuk menyelesaikan masalah bukti (atau bagian dari masalah bukti), beberapa di antaranya mungkin memerlukan penalaran tingkat tinggi. Seringkali, prover membutuhkan beberapa waktu untuk menghasilkan bukti (asalkan ada bukti yang hanya membutuhkan teknik penalaran tingkat pertama). Tentu saja, mencoba menerapkan teorema orde pertama untuk masalah yang memerlukan penalaran tingkat tinggi biasanya menghasilkan waktu habis.

Oleh karena itu, saya telah bertanya-tanya apakah ada metode / teknik yang dapat memberi tahu saya sebelumnya apakah masalah bukti akan memerlukan teknik penalaran tingkat tinggi (artinya "jangan buang waktu mencoba menyerahkannya ke pembentuk teorema orde pertama" ) atau tidak, setidaknya mungkin untuk masalah input tertentu.

Saya mencari di literatur untuk menjawab pertanyaan saya dan bertanya kepada beberapa peneliti dari bidang teorema yang membuktikan hal itu - tetapi sejauh ini, saya tidak menerima jawaban yang baik. Harapan saya adalah bahwa ada beberapa penelitian tentang topik itu dari orang-orang yang mencoba untuk menggabungkan pembuktian teorema interaktif dan pembuktian teorema otomatis (komunitas Coq? Komunitas Isabelle (Sledgehammer)?) - tetapi sejauh ini, saya tidak dapat menemukan apa pun.

Saya kira secara umum, masalah yang saya uraikan di sini tidak dapat dipastikan (kan?). Tapi mungkin ada jawaban yang bagus untuk versi masalah yang sudah diperbaiki ...?

automated-theorem-proving program-verification

— Sylvia Grewe
sumber

Apa yang Anda tanyakan pada dasarnya adalah memutuskan apakah formula yang diberikan dapat dibuktikan (dalam sistem Anda yang lebih lemah) yang secara umum tidak dapat diputuskan bahkan untuk teori sederhana seperti Q. Tetapi provabilitas sebenarnya tidak terlalu berguna karena teori yang lebih kuat dapat mempersingkat bukti teorema a. banyak. Memutuskan apakah teorema memiliki bukti singkat adalah NP-complete. Saya ragu ada heuristik yang baik.

— Kaveh

Aritmatika Peano memiliki induksi, dan aritmatika Peano adalah orde pertama (yaitu hanya dihitung atas individu). Sama untuk ZFC. Mengutip Martin Davis: "logika tingkat tinggi hanyalah varian notasional dari teori himpunan yang diformalkan dalam logika tingkat pertama, pertanyaan tentang penggunaan formalisme tingkat tinggi dalam pembuktian teorema mekanis hanyalah masalah apakah formalisme itu menyarankan atau tidak menyarankan formalisme seperti itu atau tidak. algoritma yang berguna. "

— Martin Berger

@ MartinBerger Saya pikir untuk keperluan pertanyaan ini, skema aksioma dianggap sebagai "teknik penalaran tingkat tinggi"

— fread2281

@ fread2281 Sangat membantu untuk berhati-hati dengan terminologi. Ada set-teori yang memiliki aksiomatis terbatas (misalnya teori set Neumann-Bernays-Gödel yang merupakan perpanjangan konservatif ZFC). Sebaliknya skema aksioma ZFC tidak dapat diekspresikan oleh sejumlah aksioma yang terbatas. Saya pikir tetapi saya tidak yakin sekarang bahwa skema aksioma tidak memerlukan kekuatan penuh teori himpunan atau logika tingkat tinggi.

— Martin Berger

Secara singkat, setiap teorema yang dinyatakan dalam logika urutan pertama memiliki bukti urutan pertama.

Dalam bukunya "Pengantar Logika Matematis dan Teori Tipe", Peter B. Andrews mengembangkan logika tingkat pertama dan sistem logika tingkat tinggi Q ₀ , yang umumnya dianggap sebagai dasar teori pembalik tingkat tinggi modern. . (Lihat pengantar logika HOL misalnya.)

Untuk Q ₀ dan sistem serupa, Andrews menunjukkan bahwa logika tingkat tinggi yang ia gambarkan dapat dianggap sebagai ekstensi konservatif dari logika tingkat pertama dan menulis (edisi kedua, hal. 259) bahwa, "Singkatnya, setiap teorema orde pertama dari teori tipe memiliki bukti orde pertama. "

Mengingat masalah praktis Anda, saya juga mengutip paragraf berikut:

"Namun, beberapa teorema logika orde pertama dapat dibuktikan paling efisien dengan menggunakan konsep yang hanya dapat diekspresikan dalam logika orde tinggi. Contoh dapat ditemukan dalam [Andrews and Bishop, 1996] dan [Boolos, 1998, Bab 25] Statman membuktikan [Statman, 1978, Proposisi 6.3.5] bahwa panjang minimum bukti dalam logika orde pertama dari satu wff logika orde pertama mungkin lebih lama dari pada panjang minimum bukti wff yang sama di logika orde kedua. Hasil terkait oleh Godel [Godel, 1936] adalah bahwa secara umum 'beralih ke logika orde tinggi berikutnya memiliki efek, tidak hanya membuat proposisi tertentu yang dapat dibuktikan yang tidak dapat dibuktikan sebelumnya, tetapi juga membuat mungkin untuk mempersingkat, dengan jumlah yang luar biasa, banyak sekali bukti yang sudah tersedia '. Bukti lengkap ini dapat ditemukan di [Buss,1994]. "

— Garing
sumber