Pencocokan berat maksimum dan fungsi submodular

Diberikan grafik bipartit $G = (U \cup V, E)$ dengan bobot positif, biarkan $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ dengan $f(S)$ sama dengan pencocokan berat maksimum dalam grafik $G[S\cup V]$ .

Benarkah $f$ adalah fungsi submodular?

matching submodularity

— George Octavian Rabanca
sumber

Bagaimana menurut anda? Sudahkah Anda mencoba membuktikan / menolaknya?

— Yuval Filmus

Secara intuitif sepertinya memang benar tetapi saya tidak bisa membuktikannya. Juga saya pikir jika itu benar itu harus menjadi hasil yang terkenal tetapi saya tidak dapat menemukan referensi.

— George Octavian Rabanca

Ini berlaku untuk kasus tanpa bobot, karena dapat dikurangi menjadi pemotongan minimum. Tidak jelas bagaimana cara membuktikan versi berbobot ...

— Chao Xu

Pertimbangkan

K_{2, 2}

$K_{2,2}$ dengan bobot tepi 1,1,1,2.

— András Salamon

@ AndrásSalamon Sepertinya pada langkah terakhir Anda menganggap bahwa

f

$f$ adalah aditif, yang tidak benar. Pencocokan maksimum

S \cap T

$S\cap T$ mungkin menggunakan simpul yang telah digunakan oleh kedua pencocokan

S ∖ T

$S \setminus T$ dan

T ∖ S

$T \setminus S$ . Saya punya bukti untuk ini sekarang tetapi jelas lebih terlibat dari ini.

— George Octavian Rabanca

Definisi . Untuk himpunan terbatas , fungsi himpunan adalah submodular jika untuk menyatakan bahwa: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

Lemma Diberikan grafik bipartit dengan bobot tepi positif, misalkan menjadi fungsi yang memetakan dengan nilai pencocokan berat maksimum dalam . Kemudian adalah submodular. $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

Bukti. Perbaiki dua set dan biarkan dan menjadi dua pencocokan untuk grafik dan . Untuk membuktikan lemma sudah cukup untuk menunjukkan bahwa dimungkinkan untuk mempartisi tepi dalam dan untuk grafik $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ menjadi dua pencocokan terpisah dan $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ dan masing-masing. $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

Tepi dan membentuk kumpulan jalur dan siklus bolak-balik. Biarkan menunjukkan koleksi ini dan amati bahwa tidak ada siklus mengandung simpul dari $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ atau . Ini berlaku karena tidak cocok dengan simpul tersebut. $Y\setminus X$ $M_\cap$

Biarkan menjadi himpunan jalur di dengan setidaknya satu simpul dalam dan biarkan menjadi himpunan jalur di $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ dengan setidaknya satu titik di . Dua jalur seperti itu digambarkan dalam gambar di bawah ini. $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

Klaim 1. . $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

Asumsikan oleh kontradiksi bahwa ada jalan . Biarkan menjadi simpul di di jalan dan juga membiarkan menjadi titik di di jalan . Perhatikan bahwa karena atau bukan milik mereka tidak termasuk dalam pencocokan $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ dengan definisi, dan karena itu mereka adalah titik akhir dari jalur . Apalagi sejak dan $M_\cap$ $P$ $x$ berada di , jalur memiliki panjang genap dan karena merupakan jalur bolak-balik, baik tepi pertama atau terakhir milik . Oleh karena itu cocok dengan atau , yang bertentangan dengan definisi dan membuktikan klaim. $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

Misalkan dan Jelas bahwa

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$ dan

. Untuk membuktikan teorema, tetap menunjukkan bahwa

dan

adalah pasangan yang cocok untuk

dan

. Untuk melihat bahwa

adalah pencocokan yang valid untuk

karena

tidak memotong

dengan Klaim 1, dan

tidak berpotongan

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

perhatikan terlebih dahulu bahwa tidak ada simpul

dicocokkan oleh

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$ menurut definisi. Oleh karena itu,

hanya menggunakan simpul dari

. Kedua amati bahwa setiap simpul

dicocokkan oleh paling banyak satu tepi

karena jika tidak

milik dua tepi

atau dua tepi

, yang bertentangan dengan definisi. Ini membuktikan bahwa

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ adalah pencocokan yang valid untuk

; menunjukkan bahwa

adalah matchings berlaku untuk

mirip.

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— George Octavian Rabanca
sumber

Ini terlihat hebat! Sebagai saran kecil: definisi

M_{X}

$M_X$ dan

tidak simetris, jadi klaim akhir Anda bahwa "

... serupa" tidak langsung. Lebih jelas (saya pikir) jika Anda membiarkan

menunjukkan komponen yang terhubung tidak menyentuh titik di

, dan kemudian mengatur

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

dan

menjadi sama dengan

dan

bertukar dan kemudian

berubah menjadi

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— Andrew Morgan