Kompleksitas parameter dari P ke NP-hard dan kembali lagi


60

Saya mencari contoh masalah dengan parametrized oleh angka kN , di mana kekerasan masalahnya non-monotonik dalam k . Sebagian besar masalah (dalam pengalaman saya) memiliki transisi fase tunggal, misalnya k -SAT memiliki transisi fase tunggal dari k{1,2} (di mana masalahnya ada di P) ke k3 (di mana masalahnya adalah NP- lengkap). Saya tertarik pada masalah di mana ada transisi fase di kedua arah (dari mudah ke keras dan sebaliknya) karena k meningkat.

Pertanyaan saya agak mirip dengan yang diajukan di Hardness Jumps in Computational Complexity , dan pada kenyataannya beberapa tanggapan di sana relevan dengan pertanyaan saya.

Contoh yang saya ketahui:

  1. k -colorability dari grafik planar: Dalam P kecuali ketikak=3 , yang merupakan NP-complete.
  2. Steiner tree dengan terminal k : Dalam P ketika k=2 (runtuh ke jalur s - terpendek t) dan ketika k=n (runtuh ke MST), tetapi NP-hard "di antara". Saya tidak tahu apakah transisi fase ini tajam (misalnya, P untuk k0 tapi NP-keras untuk k0+1 ). Transisi k bergantung pada ukuran instance input, tidak seperti contoh saya yang lain.
  3. Menghitung tugas memuaskan dari rumus planar modulo n : Dalam P ketika n adalah Mersenne prima sejumlah n=2k1 , dan # P-lengkap untuk (?) Yang paling / semua nilai-nilai lain dari n (dari Aaron Sterling di thread ini ) . Banyak transisi fase!
  4. Deteksi subgraph yang diinduksi: Masalahnya tidak ditentukan oleh integer tetapi grafik. Ada grafik H1H2H3 (di mana menunjukkan jenis hubungan subgraph tertentu), yang menentukan apakah HiG untuk grafik yang diberikan G adalah dalam P untuk i{1,3} tetapi NP- lengkap untuk i=2 . (dari Hsien-Chih Chang di utas yang sama ).

3
Koreksi minor contoh (3): masalahnya ada di jika n adalah bilangan bulat tipe Mersenne, yaitu, n = 2 k - 1 untuk beberapa bilangan k alami ; dan tidak harus menjadi yang utama. (Sebagai contoh, 2 11 - 1 bukan prima.) Kecuali n adalah dari bentuk ini, masalahnya adalah # P -lengkap. Pnn=2k1kn2111nP
Aaron Sterling

Terima kasih @ Harun Sterling - Saya telah merevisi contoh itu dengan tepat.
mikero

1
Koreksi besar contohnya (3): Rumusnya juga harus monoton, baca-dua kali, dan memiliki klausa ukuran , di mana n = 2 k - 1 , agar dapat dilacak. Ini dibuktikan oleh Jin-Yi Cai dan Pinyan Lu. Ini bukan bagaimana Valiant memotivasi itu. Dia memperbaiki ukuran klausa menjadi 3 dan kemudian hanya memvariasikan modulus. Itu diketahui sulit dalam karakteristik 0. Valiant menunjukkan kekerasan mod 2 dan trability mod 7. Kekerasan mod 2 adalah P = # 2 P kekerasan, bukan # P-kekerasan. Saya tidak tahu keluarga masalah parameter apa yang Anda coba uraikan. kn=2k1P=#2P
Tyson Williams

1
Untuk lebih lanjut tentang ini, termasuk referensi makalah, lihat Holographic_algorithm # History di Wikipedia.
Tyson Williams

Sebuah keprihatinan tentang contoh (4): Saya harap Anda berarti bahwa menunjukkan G menjadi realisasi s -graph H . Tapi bagaimana kita dapat mengatakan bahwa theta prisma piramida? Perhatikan bahwa kita berbicara tentang subgraf yang diinduksi bukan subgraf. HGGsH
Cyriac Antony

Jawaban:


25

Satu bidang dengan banyak kompleksitas masalah non-monoton adalah pengujian properti. Biarkan menjadi himpunan semua grafik n -vertex, dan panggil P G n properti grafik. Masalah umum adalah untuk menentukan apakah grafik G memiliki properti P (yaitu G P ) atau 'jauh' dari memiliki properti P dalam arti tertentu. Bergantung pada P apa itu, dan apa jenis akses kueri yang Anda miliki pada grafik, masalahnya bisa sangat sulit.GnnPGnGPGPPP

Tetapi mudah untuk melihat bahwa masalah non-monoton, dalam bahwa jika kita memiliki , fakta bahwa P adalah mudah diuji tidak berarti baik bahwa S adalah mudah diuji atau yang T adalah. SPTPST

Untuk melihat ini, cukup untuk mengamati bahwa dan P = keduanya dapat diuji secara trivial, tetapi untuk beberapa properti, terdapat batas bawah yang kuat.P=GnP=


Bisakah Anda menyebutkan (atau menunjuk) contoh yang tidak sepele? Saya kira Anda sudah tahu beberapa. Menarik juga apakah ada transisi fase P NP P NP.
Cyriac Antony

20

Untuk grafik dan bilangan bulat k 1 , kekuatan k -th G , dilambangkan oleh G k , memiliki himpunan simpul yang sama sehingga dua simpul berbeda berdekatan dalam G k jika jarak mereka dalam G paling banyak k . Kekuatan k -th dari masalah graph split menanyakan apakah grafik yang diberikan adalah kekuatan k -th dari grafik split.Gk1kGGkGkGkkk


17

ΔΔ=23 delta 6Δ73Δ6

Pertanyaan terkait dibahas di sini .


14

Menentukan apakah grafik memiliki klik yang mendominasi untuk:G

  • diam(G)=1 adalah sepele - jawabannya selalu 'ya'
  • diam(G)=2 adalah NP-complete
  • diam(G)=3 adalah NP-complete
  • diam(G)4 adalah sepele - jawaban selalu 'tidak'

Kasus adalah karena Brandstädt dan Kratsch , dan kasus dicatat dalam makalah saya baru-baru ini .d i a m ( G ) = 2diam(G)=3diam(G)=2


+1 Jawaban yang bagus. Apa yang mendominasi klik?
Mohammad Al-Turkistany

1
Sama seperti kedengarannya - set yang mendominasi yang juga merupakan klik .
Austin Buchanan

13

Apakah ini contoh dari fenomena yang Anda cari?

Pertimbangkan masalah k-Clique, di mana k adalah ukuran klik yang kita cari. Jadi masalahnya adalah "Apakah ada klik ukuran k dalam grafik G pada n simpul?"

Untuk semua konstanta k, masalahnya adalah dalam P. (Algoritma brute force berjalan dalam waktu .) Untuk nilai-nilai k yang besar, misalnya nilai-nilai seperti n / 2, itu adalah NP-complete. Ketika k menjadi sangat dekat dengan n, seperti nc untuk beberapa konstanta c, masalahnya ada di P lagi karena kita dapat mencari semua himpunan bagian n simpul ukuran nc dan memeriksa apakah ada dari mereka yang membentuk sebuah klik. (Hanya ada himpunan bagian seperti itu, yang secara polinomi besar ketika c adalah konstanta.)O ( n c )O(nk)O(nc)


7
Fenomena ini hanya karena kita mungkin juga memandang k sebagai min (k, nk), dan bisa menyelesaikan k-klik atau set k-indept (benar-benar masalah yang sama). Jika kita memikirkan 0 <k <= n / 2 karena alasan ini, kerumitannya meningkat tajam dalam k.
Aaron Roth

4
@ Harun: Saya khawatir argumen Anda salah. Menemukan klik ukuran n − k sangat berbeda dari menemukan kumpulan ukuran k yang independen. Anda pasti bingung dengan fakta bahwa menemukan kumpulan ukuran k dalam grafik G sama dengan menemukan kumpulan ukuran k yang independen dalam pelengkap G.
Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi: Ya, tentu saja. Saya bermaksud mengatakan bahwa WLOG, Anda dapat mengasumsikan k <= n / 2, karena jika tidak, ambil grafik komplemen dan pecahkan masalah untuk k '= nk. Dan tentu saja, ini menyoroti bahwa kompleksitasnya meningkat dalam k.
Aaron Roth

1
@ Harun: "jika tidak, ambil grafik pelengkap dan selesaikan masalah untuk k '= nk." Itulah klaim salah yang saya coba tolak. Izinkan saya mengulangi apa yang saya katakan: “menemukan klik ukuran k dalam grafik G sama dengan menemukan kumpulan ukuran independen k dalam komplemen G.” Menemukan klik ukuran k dalam grafik G tidak setara dengan menemukan klik ukuran n − k dalam pelengkap G.
Tsuyoshi Ito

2
Ah iya. :-) Itu konyol, saya menarik kembali keberatan saya. Apa yang terjadi di sini hanya Binomial [n, k] = Binomial [n, nk], sehingga waktu pencarian yang lengkap meningkat secara monoton untuk k <n / 2, dan penurunan monoton untuk k> n / 2.
Aaron Roth

12

Berikut ini contoh yang mungkin dari jenis yang Anda cari. Parameternya bukan bilangan bulat, melainkan sepasang angka. (Meskipun salah satu dari mereka dapat diperbaiki untuk menjadikannya masalah satu parameter.)

Masalahnya adalah untuk mengevaluasi polinomial Tutte dari grafik G pada koordinat (x, y). Kita dapat membatasi koordinat menjadi bilangan bulat. Masalahnya adalah dalam P jika (x, y) adalah salah satu poin (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0), atau memuaskan (x-1) ) (y-1) = 1. Kalau tidak, itu # P-hard.

Saya mendapatkan ini dari artikel Wikipedia tentang polinomial Tutte .


12

Bagaimana dengan pertanyaan tentang komputasi modulo permanen ? Untuk ini mudah (karena permanen = determinan), dan Valiant (dalam " Kompleksitas menghitung permanen ") menunjukkan ia dapat dihitung modulo dalam waktu untuk oleh varian modifikasi dari eliminasi Gaussian. Tapi untuk yang bukan kekuatan , itu adalah UP-Hard. k = 2 2 d O ( n 4 d - 3 ) d 2 k 2kk=22dO(n4d3)d2k2


10

Masalah lain dengan fenomena ini adalah masalah MINIMUM -SPANNER pada grafik terpisah.t

Untuk konstan , -spanner dari graf yang terhubung adalah subgraf spanning terhubung dari sedemikian sehingga untuk setiap pasangan simpul dan , jarak antara dan dalam paling banyak kali jaraknya dalam . Masalah MINIMUM -SPANNER meminta -spanner dengan jumlah tepi minimum dari grafik yang diberikan.ttH G x y x y H t G t tGHGxyxyHtGtt

Sebuah grafik perpecahan adalah grafik yang ditetapkan vertex dapat dipartisi menjadi clique dan set independen.

Dalam tulisan ini ditunjukkan bahwa MINIMUM 2-SPANNER pada grafik split adalah NP-hard sedangkan untuk setiap , MINIMUM -SPANNER mudah pada grafik split.tt3t


10

Contoh terkenal adalah pewarnaan -edge.k

Diputuskan dalam waktu polinomial jika sebaliknya -complete .N PkΔNP

Untuk grafik kubik, tentukan keberadaan pewarnaan tepi menggunakan:

  • k=2 warna sepele karena jawabannya selalu tidak.
  • N Pk=3 warna adalah -completeNP
  • k4 warna sepele karena jawaban selalu ya.

Holyer, Ian (1981), "NP-kelengkapan pewarnaan tepi", Jurnal SIAM tentang Komputasi 10: 718-720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring


Bisakah Anda, tolong, tambahkan referensi?
Oleksandr Bondarenko

10

Ini adalah contoh yang menarik (dan mengejutkan) untuk transisi fase P NP-hard P NP-hard :

Memutuskan apakah grafik lengkap pada simpul, di mana setiap simpul memiliki peringkat ketat dari semua simpul lainnya, mengakui pencocokan populer adalah dalam P untuk aneh dan NP-keras untuk bahkan . (Parameternya adalah nomor simpul .)nnnn

Buktinya telah diumumkan dalam makalah ini .



6

UV(G)GG[U]GU

Memutuskan apakah grafik dengan diameter 1 memiliki cutset yang terputus adalah sepele. Masalahnya menjadi NP-keras pada grafik diameter 2 lihat makalah ini dan sekali lagi mudah pada grafik diameter setidaknya 3 melihat makalah ini .

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.