Apa kelas kompleksitas "terkecil" yang diketahui batas sirkuit superlinearnya?

Permintaan maaf karena mengajukan pertanyaan yang pastinya ada dalam banyak referensi standar. Saya ingin tahu tentang pertanyaan dalam judul, khususnya saya memikirkan sirkuit Boolean, tidak ada kedalaman yang terikat. Saya menempatkan "terkecil" dalam tanda kutip untuk memungkinkan kemungkinan ada beberapa kelas yang berbeda, tidak diketahui termasuk satu sama lain, yang mana batas superlinear diketahui.

Saya percaya bahwa kelas terkecil yang diketahui adalah $S_2P$ (Cai, 2001), $PP$ (Vinodchandran, 2005), dan $(MA \cap coMA)/1$ (Santhanam, 2007). Semua ini memang dikenal tidak berada di $SIZE(n^k)$ untuk setiap konstan $k$ .

Hasil terkuat saya sadar adalah bahwa untuk semua k, ada masalah di $S_2^P$ yang membutuhkan sirkuit ukuran $\Omega(n^k)$ .

adalah kelas yang terkandung dalam Z P P N P , yang dengan sendirinya terkandung dalam Σ P 2 ∩ Π P 2 . (Kompleksitas kebun binatangmemiliki lebih banyak informasi tentang kelas ini.)$S_2^P$$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

Hasilnya mengikuti dari versi terkuat dari teorema Karp-Lipton karena Cai .

Sebuah bukti cepat tentang bagaimana ini mengikuti dari teorema KL: Pertama, jika SAT membutuhkan sirkuit ukuran super-polinomial, kami selesai, karena kami telah menunjukkan masalah pada yang membutuhkan sirkuit ukuran super-polinomial. Jika SAT memiliki sirkuit ukuran polinomial, maka oleh versi terkuat dari teorema Karp-Lipton, PH runtuh ke S P 2 . Kita tahu PH mengandung masalah seperti itu (berdasarkan hasil Kannan), dan dengan demikian S P 2 mengandung masalah seperti itu.$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

Untuk sirkuit umum, kita tahu bahwa ada masalah dalam yang memerlukan sirkuit ukuran Ω ( n k ) , hal ini disebabkan Ravi Kannan (1981) dan didasarkan pada hasil bahwa P H mengandung masalah seperti .$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

Saya pikir lowerbounds terbaik untuk masih sekitar 5 n .$NP$$5n$

Lihat buku Arora dan Barak, halaman 297. Richard J. Lipton punya posting di blog-nya tentang hasil ini, juga lihat yang ini .

Untuk memperbaiki jawaban , untuk setiap k ≥ $\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$ dan , baik * Masalah pencarian 3-SAT tidak memiliki sirkuit circ O ( n k ) , atau * Beberapa masalah dalam O 2 P dengan waktu (dan ukuran saksi) terbatas ~ O ( n k 2 ) tidak memiliki io- O ( n k ( log n ) c ) sirkuit (io berarti tak terhingga sering).$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

Jika menggantikan masalah pencarian 3-SAT, kami menggunakan masalah keputusan, waktu ˜ O ( n k 2 + k ) mencukupi, dan jika kami menggunakan masalah keputusan untuk bit i dalam penugasan lexicographically minimal untuk 3-SAT , ˜ O ( n min ( k 2 + k , k 3 ) ) sudah cukup.$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

Satu masalah keputusan yang tidak dapat dihitung dengan sirkuit io- adalah angka paling kecil N (dipertanyakan menggunakan digit binernya) yang bukan tabel kebenaran dari suatu rangkaian dengan n k ⌊ ( log n ) c + 1 ⌋ gerbang. Jika NP dalam P / poli, masalah memiliki saksi yang tak terbantahkan menyadari terdiri dari berikut: (1) N (2) sirkuit yang diberikan N ' < N , menunjukkan bahwa N ' memiliki sirkuit cukup kecil.$O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
(3) (hanya digunakan untuk terikat) pemverifikasi yang memungkinkan kita untuk menjalankan sirkuit lawan untuk (2) hanya O ( 1 ) kali (mendapatkan 1 bit per run).$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

$k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$$n^{k+2}$$n$$n$