Pathwidth dari gambar terencana

Pathwidth dari grafik bipartit lengkap $K_{3,n}$ dengan ukuran partite $3$ dan $n$ paling banyak $3$ . Saya tertarik merencanakan grafik ini dengan proses berikut:

1. Gambarlah di bidang sedemikian rupa sehingga tidak ada tepi yang mengandung simpul di bagian dalamnya, dan sedemikian rupa sehingga tidak lebih dari 2 tepi yang melintas di titik mana pun.
2. Ganti setiap titik persimpangan dari dua tepi dengan titik baru derajat 4.

Maka grafik yang dihasilkan jelas planar. Walaupun memiliki pathwidth konstan, beberapa investigasi pendahuluan menyarankan bahwa terlepas dari gambar yang Anda gunakan untuk merencanakan , Anda tidak dapat menjamin bahwa grafik yang direncanakan memiliki lebar path konstan yang independen dari ; Saya percaya jalur lebar dari grafik yang terencana harus tumbuh bersama . Apakah ini diketahui, atau tersirat oleh beberapa hasil yang ada?$K_{3,n}$$K_{3,n}$$n$$n$

Di sisi lain, saya memiliki sekumpulan grafik dengan derajat konstan dan lebar jalur terbatas, yang dapat saya rencanakan tanpa menambah lebar jalur lebih dari konstanta. Apakah ada hasil umum yang mengatakan bahwa ini selalu mungkin untuk grafik derajat dan jalur terbatas?

Gambar naif $K_{3,n}$ akan memiliki pathwidth $O(n)$ . Saya pikir itu ketat, dan pathwidth selalu $\Omega(n)$ . Inilah alasannya.

(1) Perbaiki gambar . Tanpa kehilangan sifat umum kita dapat mengasumsikan bahwa tidak ada dua tepi yang bersilangan dan bahwa tidak ada dua tepi yang bersilangan dua kali, karena jika tidak kita dapat memodifikasi gambar untuk menghilangkan penyeberangan ini tanpa melukai jalur lebar. Setiap subgraph dari memiliki tanda silang, ada cara untuk memperpanjang setiap persilangan tertentu ke subgraph , dan ada subgraf. Oleh karena itu, jumlah penyeberangan setidaknya . (Sebenarnya ikatan ketat sekitar diketahui tetapi itu tidak mengubah sisanya.)$K_{3,n}$$K_{3,3}$$K_{3,n}$$n-2$$K_{3,3}$$\tbinom{n}{3}$ $K_{3,3}$$n^2/6$$n^2/4$

(2) Tetapkan untuk menjadi himpunan semua tepi dalam , dan pertimbangkan setiap pengaturan linear dari persilangan dalam keseluruhan gambar. Ulangi langkah-langkah berikut:$S$$K_{3,n}$

(2a) Pertimbangkan titik bahwa pengaturan yang membagi dua penyeberangan antara pasangan tepi di . Tentukan tepi untuk "dipotong" jika semua titik penyilangannya dengan tepi berada di setengah bagian yang sama dari pembagian ini, dan " potong" jika tidak.$S$$S$$S$

(2b) Jika ada paling tidak potong tepi gambar (untuk beberapa konstanta yang sesuai ), maka masing-masing dari mereka memberikan kontribusi tepi planarisasi yang juga melintasi titik dua dari pengaturan linier. Ini menunjukkan bahwa pengaturan linier memiliki angka pemisahan simpul , tetapi karena jalur lebar hanya jumlah pemisahan simpul minimum dari pengaturan linier, jalur lebar juga .$\epsilon n$$\epsilon$$\Omega(n)$$\Omega(n)$

(2c) Dalam kasus yang tersisa, ada sangat sedikit tepi potong, sehingga sebagian besar penyeberangan di berasal dari pasangan tepi yang belum dipotong, yang keduanya harus berada di sisi yang sama dari pembelahan dua. Hampir setengah dari - penyeberangan berada di setiap sisi pembelahan, dan setidaknya salah satu dari dua sisi pembelahan memiliki kurang dari setengah dari tepi di . Ganti dengan subset tepi di sisi itu dan ulangi.$S$$S$$S$$S$$S$

(3) Setiap pengulangan langkah (2a) - (2c) sekitar dua kali lipat kepadatan penyeberangan / pasang tepi di , karena jumlah penyeberangan dibelah dua dan jumlah pasang tepi dikuartikan. Kepadatan ini sudah dimulai konstan dan tidak dapat melebihi satu. Oleh karena itu, setelah jumlah pengulangan yang konstan, langkah (2b) akan berhasil dalam menemukan jumlah linier dari ujung potong, menunjukkan bahwa lebar jalur setidaknya linier.$S$

Adapun saran Anda bahwa grafik jalur-batas terbatas-derajat memiliki tata letak yang planarisasi-nya telah membatasi jalur lebar: ini tampaknya memang benar.

Temukan urutan linear dari simpul dari grafik yang diberikan dengan nomor pemisahan simpul terikat: yaitu, pada setiap titik dalam sapuan kiri-ke-kanan dari pemesanan harus ada banyak simpul ke kiri dari titik sapuan yang bertetangga dengan Baik. Gambarlah grafik dalam sapuan kiri-ke-kanan dari urutan ini, dengan ujung-ujungnya ditempatkan pada trek horizontal, dengan masing-masing simpul yang diselesaikan sebagian memiliki seperangkat trek agar ujungnya yang tersisa terhubung ke kanan. Dengan demikian, jumlah total trek adalah produk derajat dengan jalur lebar,$O(1)$$O(1)$. Saat Anda mencapai titik baru, Anda dapat menambahkan konektor yang hampir vertikal ke trek titik lainnya yang harus terhubung, dan koneksi yang lebih pendek ke trek keluarnya. Berikut ini contohnya, dengan pemisahan titik tiga, derajat tiga, dan tiga trek per titik.

Tata letak ini, juga, telah membatasi jumlah pemisahan, karena satu-satunya penyeberangan berada di trek sehingga paling banyak ada satu simpul dengan lingkungan tidak lengkap per trek. Jadi jalur lebar planarisasi juga , dan lebih tepatnya paling proporsional dengan produk dari derajat dan jalur lebar asli.$O(1)$