Kapan BPP dengan koin bias setara dengan BPP standar?

Biarkan mesin Turing probabilistik memiliki akses ke koin yang tidak adil yang muncul di kepala dengan probabilitas (membalik independen). Tentukan sebagai kelas bahasa yang dikenali oleh mesin seperti itu dalam waktu polinomial. Ini adalah latihan standar untuk membuktikan bahwa: $p$ $BPP_p$

A) Jika rasional atau bahkan -computable maka . (Dengan -computable yang saya maksud: ada algoritma polinomial acak yang diumpankan dalam pengembalian unary whp rasional biner dengan penyebut yang terletak dalam dari .) $p$ $BPP$ $BPP_p=BPP$ $BPP$ $n$ $2^n$ $2^{-n-1}$ $p$

B) Untuk beberapa tidak dapat dihitung , kelas berisi bahasa yang tidak dapat dan karenanya lebih besar dari . Nilai-nilai membentuk set padat di . $p$ $BPP_p$ $BPP$ $p$ $(0,1)$

Pertanyaan saya adalah sebagai berikut: apa yang terjadi di antara keduanya? Apakah ada kriteria untuk ? Khususnya: $BPP_p=BPP$

1) Apakah probabilitas tidak dapat dihitung ada sehingga ? (Mereka mungkin dapat dihitung di beberapa kelas yang lebih tinggi). $BPP$ $p$ $BPP_p=BPP$

2) Apakah lebih luas dari untuk semua tidak dapat dihitung ? (Parameter yang dimaksud adalah parameter yang ekspansi binernya mengandung urutan nol dan / atau yang sangat panjang. Dalam hal ini, komputasi bit dengan pengambilan sampel acak mungkin memakan waktu yang sangat lama, bahkan waktu yang tidak dapat dihitung, dan masalahnya tidak dapat dipulihkan ke waktu polinomial. kesulitan dapat diatasi dengan basis ekspansi lain, tetapi tertentu mungkin menipu semua basis). $BPP_p$ $BPP$ $p$ $p$

cc.complexity-theory randomized-algorithms probabilistic-complexity

— Daniil Musatov
sumber

Apa sebenarnya yang Anda maksud dengan p menjadi (tidak) dapat dihitung?

— daniello

Saya menambahkan definisi

-computable. Untuk komputer yang dapat dihitung secara umum, Anda dapat menjatuhkan kata-kata "polinomial acak" atau hanya mengatakan bahwa ekspansi biner dapat dihitung. (Dengan sumber daya terbatas ini tidak sama.)BPP $BPP$

— Daniil Musatov

Saya pikir

untuk setiap uncomputable

karena diberi

-biased koin satu dapat menghitung

'th sedikit

oleh sampling. Misalkan kita dapat menghitung bit ke

dalam waktu

, maka bahasa yang berisi

untuk semua

sedemikian sehingga bit

'dari

adalah

adalah dalam

BPPp≠BPP $BPP_p \neq BPP$

p $p$

n $n$

p $p$

n $n$

f(n) $f(n)$

1x $1^x$

x $x$

f- 1( x ) $f^{-1}(x)$

hal $p$

1 $1$

B PPhal $BPP_p$ , tapi jelas itu tidak bisa dihitung.

— daniello

Ini benar untuk sebagian besar

tidak dapat dihitung . Tetapi ada peringatan: jika

berisi urutan nol yang sangat panjang dan yang satu maka mungkin perlu sampling yang sangat lama untuk menentukan bit ke -

. Pengambilan sampel ini mungkin sangat panjang sehingga

tidak dapat dihitung (seperti fungsi Sibuk Berang-berang). Saya juga ragu itu bisa dihitung dengan tepat dari sampling itu sendiri. Dan tampaknya tanpa komputasi

seseorang tidak dapat mengenali bahasa yang disebutkan. hal $p$

hal $p$

n $n$

f( n ) $f(n)$

— Daniil Musatov

1) Ya, tetapi hanya karena definisi Anda. Ambil bahasa unary (ya, saya tahu ini mungkin kosong, dalam hal ini hanya mengambil sesuatu yang lebih besar dari ), yang sangat jarang dalam arti bahwa jika bukan menara , yaitu, dari bentuk . Tentukan . Ini tidak $L\in EXP\setminus BPP$ $EXP$ $n\notin L$ $n$ $2's$ $2^{2^{2^\ldots}}$ $p=\sum_{n\in L} 1/n$ $p$ -computable, tapi dapat didekati di hingga kesalahan aditif cukup kecil yang memungkinkan simulasi dari mesin. $BPP$ $p$ $P$ $BPP_p$

Memiliki Anda didefinisikan -computable seperti yang Anda ingin perkiraan hingga kesalahan aditif dari (bukan ) dalam waktu polinomial, hal akan berbeda. $BPP$ $p$ $1/n$ $1/2^n$

Memperbarui. Jawaban di bawah adalah untuk kasus ketika kesalahan aditif yang kami izinkan adalah bukannya . $2^{-n}$ $2^{-n-1}$

2) Ya, karena di sini Anda bisa melupakan pembatasan polinomial pada kelas dan dengan mengambil sampel kali Anda bisa mendapatkan bit ke- dalam . $2^n$ $n$ $p$ $BPP_p$

— domotorp
sumber

2) Saya pikir teorema limit pusat menyarankan bahwa seseorang harus mengambil sampel

, bukan

, kali untuk mendapatkan presisi

. Tetapi masalah utamanya adalah bahwa terkadang kita membutuhkan ketelitian yang jauh lebih besar. Katakan, jika

22n $2^{2n}$

2n $2^n$

2−n $2^{-n}$

maka orang perlu

|p−12|<ϵ $|p-\frac12|<\epsilon$

sampel untuk menghitung bahkan digit pertama. Dan jumlah sampel yang dibutuhkan mungkin besar, bahkan tanpa perhitungan, besar. Intinya sedikit diklarifikasi dalam edit. 1ϵ2 $\frac1{\epsilon^2}$

— Daniil Musatov

@Daniil: Seperti yang telah saya berkomentar pada pertanyaan juga, Anda tidak meminta untuk perhitungan angka dalam definisi Anda dari

-computable. Jadi, jika

sama dengan, katakanlah,

, maka orang harus menebak

untuk digit pertama setelah koma sesuai dengan def Anda. BPP $BPP$

p $p$

0.01111111111 $0.01111111111$

1 $1$

— domotorp

Kita sekarang berbicara tentang

yang tidak dapat dihitung , bukan? Jika saya mengerti Anda benar, Anda menyarankan untuk tidak menghitung dengan sampling digit

, melainkan untuk menghitung apakah

'th digit dari

pendekatan rasional biner dari

adalah 1. Tapi di sini kita menghadapi masalah yang sama: untuk hitung digit pertama yang kita butuhkan untuk membedakan 0,010000000001 dan 0,001111111110. p $p$

p $p$

i $i$

2−i−1 $2^{-i-1}$

$p$

— Daniil Musatov

@Daniil: OK, salahku, saya pikir Anda ingin rasional biner yang jaraknya paling banyak

dari

. Saya telah memperbarui jawaban saya sesuai dengan itu. Apakah Anda senang dengan solusi saya ke 1)? $2^{-n}$

$p$

— domotorp