Mempertahankan nilai polinomial dari input yang diperbarui secara dinamis

10

Biarkan menjadi polinomial di atas bidang hingga yang tetap. Misalkan kita diberi nilai pada beberapa vektor dan vektor . $P(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $P$ $y \in \{0,1\}^n$ $y$

Kami sekarang ingin menghitung nilai pada vektor sehingga dan berbeda pada satu posisi yang tepat (dengan kata lain, kami membalik tepat satu bit dalam ). Apa ruang dan waktu trade-off untuk masalah ini? $P$ $y' \in \{0,1\}^n$ $y$ $y'$ $y$

Sebagai contoh, jika adalah jumlah monomials di , kita dapat menyimpan koefisien dan nilai-nilai semua monomials di . Jika dibalik, kami memperbaiki nilai setiap monomial yang mengandung dan kemudian nilai menggunakan informasi yang disimpan. Secara keseluruhan, kita membutuhkan waktu dan ruang. $r$ $P$ $P$ $y_i$ $y_i$ $P(y)$ $O(r)$

(Saya tidak mengatakan apa-apa tentang bagaimana kami mengidentifikasi monomial yang mengandung untuk tujuan. Anda dapat memilih representasi masuk akal , dalam contoh saya berasumsi bahwa kami menyimpan daftar monomial yang berisi untuk setiap .) $y_i$ $P$ $y_i$ $i$

Apa ada yang lebih bagus?

polynomials dynamic-algorithms

— Tatiana Starikovskaya
sumber

7

Ide Anda menggeneralisasi sebagai berikut: diberi sirkuit aljabar (di atas bidang hingga) atau sirkuit Boolean (menghitung representasi bit-bijaksana dari elemen bidang hingga Anda) menghitung , kemudian mempertahankan nilai di setiap gerbang di sirkuit. Ketika Anda mengubah bit ke- dari , cukup rentangkan perubahan itu di sepanjang DAG rangkaian, mulai dari input . Jika rangkaian memiliki ukuran , ini mengambil ruang dan waktu. Ini bisa jauh lebih kecil dari jumlah monomial (yang sesuai dengan ukuran sirkuit aljabar hanya 2). $P$ $i$ $y$ $y_i$ $s$ $O(s)$

— Joshua Grochow
sumber

1

Saya tidak yakin apakah ini disengaja, tetapi masalahnya tidak mengatakan kita diberi

, hanya

.

y

$y$

f (y)

$f(y)$

— Andrew Morgan

1

@AndrewMorgan Bergantung pada aplikasi Anda, untuk saya, Anda boleh menganggap bahwa Anda diberikan. Terima kasih atas komentarnya!

— Tatiana Starikovskaya

2

@AndrewMorgan: Memang, sementara ini secara teknis benar, cara contoh konstruksi di OQ diungkapkan tampaknya secara implisit menganggap bahwa

diberikan. Jika

tidak diberikan, saya pikir masalah ini menjadi jauh lebih sulit. (Tatiana, mungkin perlu menambahkan ini sebagai klarifikasi untuk pertanyaan ini.)

y

$y$

y

$y$

— Joshua Grochow

5

Sangat mudah untuk memodifikasi pendekatan penyimpanan monomial Anda sehingga setiap pembaruan hanya memakan waktu yang sebanding dengan jumlah monomial yang diubah: perbarui saja nilai polinom total dengan menambahkan nilai baru dan kurangi nilai lama untuk setiap monomial yang diubah.

Jika Anda memiliki rumus baca-sekali untuk (yaitu setiap variabel muncul pada satu daun dari pohon rumus, dan setiap simpul internal adalah operasi aritmatika dua-input seperti plus atau kali) maka Anda dapat mempertahankan nilai dalam logaritmik waktu per pembaruan menggunakan pohon kompres menyapu di atas rumus. Menerapkan pendekatan ini ke rumus sewenang-wenang, waktu untuk memperbarui variabel yang muncul kali adalah mana adalah ukuran rumus. Jadi kecuali untuk faktor log, ini menggeneralisasi batas untuk jumlah monomial yang berubah, dan berlaku untuk jenis ekspansi polinomial yang lebih umum ke dalam formula. $P$ $P$ $k$ $O(k\log N)$ $N$

— David Eppstein
sumber