kompleksitas masalah janji kepuasan kendala

(Ini adalah "upper end" dari pertanyaan saya dari lebih dari 10 bulan yang lalu di cs.stackexchange.
Itu pertanyaan dan "ujung bawah" saya bertanya di sini selama 8 bulan yang lalu ,
yang saya juga memiliki karunia di, keduanya belum terjawab.
Ini adalah tangkapan layar dari tampilan tulisan ini, jika tidak ditampilkan dengan benar.)

mulai dari Bagian Motivasi:

Saya mulai bertanya-tanya apakah atau tidak teorema dikotomi Schaefer
dapat diperluas untuk menjanjikan- kendala Sebagai bagian dari itu, saya mencari kendala-janji
paling sederhana yang jawabannya tidak sepele:

Untuk menghindari teorema Schaefer yang sudah berlaku, harus ada setidaknya satu input tuple yang gagal dijanjikan. Untuk alasan yang sama dengan teorema itu, all-true dan all-false harus memberikan TIDAK, dan harus ada lebih dari satu input yang memberikan YA. Secara khusus, harus ada lebih dari empat input yang mungkin, sehingga batasan-janji harus melebihi minimal 3 variabel. Untuk mendapatkan yang sederhana , anggap saja lebih dari 3 variabel dan simetris, yaitu hanya bergantung pada berapa banyakinputnya benar, bukan yang mana. Dalam hal itu, 2-true memberi YA dan janji gagal untuk 1-benar, dari 1-true memberikan YA dan janji gagal untuk 2-benar. Dengan hanya membalik setiap variabel, itu sama sulitnya, sehingga untuk memberikan pernyataan formal yang lebih pendek dan nama "lebih bagus", saya akan menggunakan yang terakhir, yaitu, tepat-1-benar memberi YA dan janji gagal untuk 2-benar.

bagian akhir dari motivasi

Pertanyaan Saya

Biarkan “positif 1,2-in-3-SAT" menjadi masalah yang dijanjikan.

Input memiliki sintaks 3-SAT tanpa negasi
harus menampilkan YA jika: inputnya 1-in-3-memuaskan
harus menghasilkan TIDAK jika : input tidak NAE-satisfiable

.

Apa kompleksitas bahwa masalah ini?

Anda bisa memilih apakah-atau-tidak variabel dapat terjadi dua kali dalam janji-kendala tunggal.

(Variabel yang muncul 3 kali dalam satu kendala-janji tunggal
akan secara otomatis menjadikannya sebagai instance yang harus-keluaran-TIDAK.)

Jelas, fungsi identitas adalah pengurangan dari masalah janji menjadi positif 1-in-3-SAT
dan positif NAE-SAT, sehingga GC (O (m), coNLOGTIME ) dapat menyelesaikan masalah janji.
Namun, ada pengamatan yang tampaknya sepele yang mengarah ke
obstruksi kombinatorial terhadap bukti kekerasan NP "sederhana" untuk 1,2-in-3-SAT positif:

Untuk setiap set variabel yang memenuhi setidaknya satu kendala janji lebih dari satu kali,
tidak ada penugasan 1-in-3-memuaskan di mana semua variabel itu benar.
Sebaliknya, untuk setiap set variabel yang memenuhi setiap batasan janji paling banyak satu kali, untuk setiap variabel
Penugasan 1-in-3-memuaskan, mungkin-memodifikasinya untuk membuat semua variabel dalam set benar memberikan penugasan memuaskan-NAE. Secara khusus, disjungsi dari dua penugasan 1-in-3-memuaskan
selalu merupakan penugasan yang memuaskan NAE. Untuk menguraikan konsekuensi dari hal itu,
anggap positif 1,2-in-3-SAT memiliki gadget yang mengimplementasikan kendala-janji C, sehingga
gadget "mewakili dan menafsirkan variabel C dengan cara yang sama satu sama lain", yaitu,

(korespondensi :) masing-masing variabel input C sesuai
dengan subset variabel yang diatur dalam gadget
dan
(cara yang sama :) subset tersebut memiliki ukuran yang sama satu sama lain; Saya akan menelepon bahwa ukuran j
dan
(mewakili :) ada fungsi dari domain variabel C untuk {False, True}^j sehingga untuk setiap YA input ke C, ada tugas 1-in-3-memuaskan untuk gadget sehingga untuk setiap variabel input C x, [penugasan ke variabel-gadget x sesuai dengan urutannya] (x) dan $forward$
^{$\hspace{.02 in}$}

$forward$

(menafsirkan :) ada fungsi dari {False, True}^j ke domain untuk variabel C sehingga untuk setiap tugas NAE-memuaskan untuk gadget, [pengaturan masing-masing masukan C variabel x hingga [ variabel gadget terkait [dalam urutannya]]]] tidak menyebabkan C memberikan NO $backward$ ^{$\hspace{.02 in}$}
$backward$

. Dalam hal itu, untuk masing-masing variabel C x dan y, jika C memiliki input YA sedemikian rupa sehingga (x, y) = (a, b) dan
input YA sedemikian rupa sehingga (x, y) = (b, a), maka ia memiliki input sedemikian rupa sehingga x = y tetapi tidak memberikan TIDAK.
Secara khusus, gadget seperti itu bahkan tidak dapat menerapkan pewarnaan janji .

Selain itu, pelengkap penugasan 1-in-3-memuaskan selalu merupakan penugasan yang memuaskan NAE, yang menerapkan pembatasan yang lebih lemah pada jenis gadget yang mungkin dimiliki oleh 1.2-in-3-SAT positif.

Apakah ada hal lain yang diketahui tentang kemungkinan 1,2-in-3-SAT positif menjadi
"CSP-complete" seperti 3-SAT dan 1-in-3-SAT positif dan NAE-SAT positif ,
yaitu, memiliki gadget untuk setiap kendala yang mungkin ?

Secara khusus, dengan menjadi jumlah janji-kendala, menunjukkan bahwa masalah janji dalam janji co QIP [2] T IME 2 ^o^{(m )} q 2 ^o^(m) untuk jauh lebih banyak akan lebih dari cukup. $m$ $\hspace{-0.03 in}\big(\hspace{-0.04 in}$ $\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ $m$

np-hardness csp promise-problems

— Komunitas
sumber

Katakanlah kita diberi ekspresi Boolean F dalam 3-CNF, di mana tidak ada literal yang dinegasikan. Ok ... Kami berjanji bahwa selalu ada solusi, karena Anda menginginkannya YA = 1-in-3-SAT dan NO = NAE-SAT. Namun, apa yang Anda lewatkan adalah bahwa F dapat berupa 1-in-3-SAT dan NAE-SAT secara bersamaan. Misalnya, ia dapat memiliki penugasan kebenaran yang memuaskan, di mana tepatnya 1 literal terpenuhi sehingga 1-in-3-SAT, tetapi ini juga menempatkannya dalam NAE-SAT karena literal dari semua klausa tidak semuanya Benar atau Salah.

— Tayfun Bayar

Bagaimana dengan YA = 1 dalam 3 SAT, TIDAK = 2 dalam 3 SAT. ? :-)

— Tayfun Pay

"Ini juga memasukkannya ke dalam NAE-SAT", yang berarti ini bukan bukan -NAE yang memuaskan, jadi saya tidak melihat masalah dengan apa yang saya tulis.

Iya. Saya baru saja melihat bahwa Anda ingin ~ NAE-SAT ... Jadi Anda ingin semua literal dari setiap klausa semuanya Benar atau seluruhnya Salah. Benar?

— Tayfun Bayar

Semua bagian Benar tidak dapat dilakukan kecuali jika Anda memiliki negasi ... Dan variabel yang sama dua kali dengan polaritas yang berlawanan dalam klausa yang sama.

— Tayfun Bayar

Mengenai pertanyaan apakah teorema dikotomi Shaefer (atau lebih umum, dugaan Feder-Vardi, baru-baru ini dibuktikan oleh Bulatov dan Zhuk ) dapat digeneralisasikan untuk menjanjikan masalah: kompleksitas janji CSP saat ini menjadi topik penelitian yang panas. Ini masih sangat terbuka jika ada dikotomi seperti itu bahkan untuk PCSPs Boolean. Namun, hasil parsial diketahui, khususnya Brakensiek dan Guruswami [1] membuktikan dikotomi untuk PCSPs Boolean simetris yang memungkinkan untuk negasi variabel.

$x_1-x_2+x_3-\dots-x_{L-1}+x_L$

Algoritma 1:

$C$ $3$ $\overline{x_i}$ $1-x_i$ $L_C$

u + v + w = 1

$u+v+w=1$

{u, v, w} \in C

$\{u,v,w\}\in C$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\dots,x_n)$

L_{C}

$L_C$

$C$

x_{i}^{'} = {\begin{cases} 1 & x_{i} \geq 1, \\ 0 & x_{i} \leq 0 \end{cases}

$x'_i=\begin{cases}1&x_i\ge1,\\0&x_i\le0\end{cases}$

C

$C$

(Kedua klaim itu mudah untuk diverifikasi.)

Algoritma 2:

$P_C$ $L_C$

0 \leq x_{i} \leq 1

$0\le x_i\le1$

x_{i}

$x_i$

$i$ $P_C\cup\{x_i=0\}$ $P_C\cup\{x_i=1\}$ $C$

$C$

$3$ $C$ $C$

Referensi:

[1] Joshua Brakensiek dan Venkatesan Guruswami, Kepuasan Batasan Janji: Struktur Aljabar dan Dikotomi Boolean Simetris , arXiv: 1704.01937 [cs.CC].

— Emil Jeřábek
sumber