Konsistensi relatif PA dan beberapa teori jenis

Untuk teori tipe, dengan konsistensi, maksud saya bahwa ia memiliki tipe yang tidak dihuni. Dari normalisasi kuat dari kubus lambda, maka sistem yang dan sistem konsisten. MLTT + tipe induktif juga memiliki bukti normalisasi. Namun, ini semua harus cukup kuat untuk membangun model PA, yang membuktikan bahwa PA konsisten dari teori-teori ini. Sistem adalah cukup kuat , jadi saya berharap untuk dapat membuktikan konsistensi PA dengan membangun model menggunakan angka Gereja. MLTT + IT memiliki nomor induktif tipe alami dan harus membuktikan konsistensi juga. $F$ $F_\omega$ $F$

Ini semua menyiratkan bahwa bukti normalisasi untuk teori-teori ini tidak dapat diinternalisasi dalam PA. Begitu:

Dapatkah sistem , sistem , dan MLTT + IT benar-benar membuktikan konsistensi PA? $F$ $F_\omega$
Jika mereka bisa, maka apa yang diperlukan untuk membuktikan normalisasi sistem , $F$ $F_\omega$ , dan MLTT + IT?
Adakah referensi yang baik untuk teori pembuktian teori tipe secara umum, atau untuk beberapa teori tipe ini secara khusus?

type-theory proof-theory

— fhyve
sumber

Dalam Sistem F Anda tidak akan mendapatkan prinsip induksi untuk angka Gereja Anda sehingga mereka keluar dari persamaan.

— gallais

Jawaban singkat untuk pertanyaan Anda 1 adalah tidak , tetapi mungkin untuk alasan yang halus.

Pertama-tama, Sistem dan tidak bisa mengungkapkan teori orde pertama dari aritmatika , dan bahkan kurang konsistensi . $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

Kedua, dan ini benar-benar mengejutkan, benar-benar dapat membuktikan konsistensi dari kedua sistem tersebut! Hal ini dilakukan dengan menggunakan apa yang disebut Model bukti-tidak relevan , yang menafsirkan jenis sebagai set , di mana beberapa elemen boneka yang mewakili penghuni jenis non-kosong. Maka salah satu dapat menuliskan aturan sederhana untuk operasi dan pada jenis seperti agak mudah untuk mendapatkan model untuk sistem , di mana jenis ditafsirkan oleh $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ . Orang dapat melakukan hal serupa untuk , menggunakan sedikit lebih hati-hati untuk menafsirkan jenis yang lebih tinggi sebagai ruang fungsi terbatas. $F_\omega$

Ada paradoks yang jelas di sini, di mana dapat membuktikan konsistensi sistem yang tampaknya kuat ini, tetapi tidak (seperti yang akan saya tunjukkan sebentar lagi) normalisasi. $\mathrm{PA}$

Unsur yang hilang di sini adalah realisasi . Kesadaran adalah cara untuk membuat program tertentu sesuai dengan proposisi tertentu, biasanya dalam aritmatika. Saya tidak akan masuk ke rincian di sini, tapi jika program menyadari proposisi , ditulis , maka kita memiliki bagian tertentu dari bukti , khususnya jika adalah normalisasi, maka . Kita punya: $p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

Teorema: Jika adalah teorema dari urutan 2 aritmatika , maka ada beberapa istilah tertutup sistem sehingga $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

Teorema ini dapat dibuktikan dalam , dan jadi kita memiliki dan argumen Gödel berlaku (dan tidak dapat membuktikan normalisasi sistem ). Penting untuk dicatat bahwa implikasi sebaliknya juga berlaku, jadi kami memiliki karakterisasi yang tepat dari kekuatan bukti-teoretis yang diperlukan untuk membuktikan normalisasi sistem $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$ .

Ada cerita serupa untuk sistem , yang, saya percaya, sesuai dengan aritmatika lebih tinggi . $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

Akhirnya, kami memiliki kasus rumit MLTT dengan tipe induktif. Sekali lagi di sini muncul masalah yang agak tidak kentara. Tentu saja di sini kita dapat mengekspresikan konsistensi , sehingga itu tidak menjadi masalah, dan tidak ada model yang tidak relevan, karena kita dapat membuktikan bahwa tipe $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$ memiliki setidaknya 2 elemen (jumlah tak terbatas dari elemen berbeda , faktanya).

Namun kami menemukan fakta mengejutkan dari teori intuitionistic tingkat tinggi: , versi lebih tinggi dari Heyting Arithmetic adalah konservatif dibandingkan ! Secara khusus, kami tidak dapat membuktikan konsistensi , (yang setara dengan ). Alasan intuitif untuk ini adalah bahwa ruang fungsi intuitionistic tidak memungkinkan Anda untuk mengukur lebih dari subset sewenang-wenang dari , karena semua fungsi yang dapat didefinisikan $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ harus dapat dihitung.

Secara khusus, saya tidak berpikir Anda dapat membuktikan konsistensi jika Anda hanya menambahkan bilangan alami ke MLTT tanpa semesta. Saya percaya menambahkan baik alam semesta atau tipe induktif "lebih kuat" (seperti tipe ordinal) akan memberi Anda kekuatan yang cukup, tetapi saya khawatir saya tidak punya referensi untuk ini. Dengan alam semesta, argumen tampaknya cukup sederhana sekalipun, karena Anda memiliki set teori yang cukup untuk membangun sebuah model . $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

Akhirnya, referensi untuk teori pembuktian sistem tipe: saya pikir ada celah dalam literatur di sini, dan saya akan menikmati perlakuan bersih terhadap semua subjek ini (bahkan, saya bermimpi untuk menulisnya sendiri suatu hari nanti!). Sementara itu:

Model bukti-tidak relevan dijelaskan di sini oleh Miquel dan Werner, meskipun mereka melakukannya untuk Calculus of Constructions, yang agak memperumit masalah.
Argumen realizability digambarkan dalam klasik Proofs and Types of Girard, Taylor dan Lafont. Saya pikir mereka juga membuat sketsa model bukti-tidak relevan, dan banyak hal berguna selain itu. Mungkin referensi pertama yang dibaca.
Argumen konservatif aritmatika Heyting tingkat tinggi dapat ditemukan dalam volume kedua konstruktivisme dalam Matematika oleh Troelstra & van Dalen (lihat di sini ). Kedua jilid ini sangat informatif, tetapi cukup sulit dibaca untuk pemula, IMHO. Ini juga agak menghindari subjek teori tipe "modern", yang tidak mengejutkan mengingat usia buku-buku itu.

Sebuah pertanyaan tambahan dalam komentar adalah tentang kekuatan konsistensi yang tepat / kekuatan normalisasi MLTT + Induktif. Saya tidak memiliki jawaban yang tepat di sini, tetapi tentu saja jawabannya tergantung pada jumlah alam semesta dan sifat keluarga induktif yang diizinkan. Rathjen mengeksplorasi pertanyaan ini dalam makalah yang sangat bagus The Strength of the Martin-Lof Type teori .

$\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

maka, secara umum

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

$\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

$\mathrm{HA}_\omega$

Sejauh MLTT dengan induksi-rekursi atau induksi-induksi, saya tidak tahu apa situasinya, dan AFAIK, masalah kekuatan konsistensi yang tepat masih terbuka.

— cody
sumber

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$