Ya, ada banyak pekerjaan sejak koran Cheeseman, Kanefsky dan Taylor 1991.
Melakukan pencarian untuk tinjauan transisi fase dari masalah NP-Complete akan memberi Anda banyak hasil. Salah satu ulasan tersebut adalah Hartmann dan Weigt [1]. Untuk pengenalan tingkat yang lebih tinggi, lihat artikel Brian Hayes American Scientist [2] [3].
Makalah Cheesemen, Kanefsky dan Taylor 1991 adalah kasus yang disayangkan bahwa para ilmuwan komputer tidak memperhatikan literatur matematika. Dalam makalah Cheeseman, Kanefsky dan Taylor, mereka mengidentifikasi Siklus Hamilton sebagai memiliki fase transisi dengan pickup dalam biaya pencarian di dekat ambang kritis. Model grafik acak yang mereka gunakan adalah grafik acak Erdos-Renyi (probabilitas sisi tetap atau distribusi derajat Gaussian yang setara). Kasus ini telah dipelajari dengan baik sebelum makalah Cheeseman et all 1991 dengan algoritma waktu polinomial yang hampir pasti diketahui untuk kelas grafik ini, bahkan pada atau di dekat ambang kritis. "Grafik Acak" Bollobas adalah referensi yang baik. Bukti asli yang saya percaya disajikan oleh Angliun dan Valiant [5] dengan perbaikan lebih lanjut oleh Bollobas, Fenner dan Frieze [6]. Setelah Cheeseman,
Transisi fase untuk Siklus Hamiltonian dalam grafik acak Erdos-Renyi acak ada dalam arti bahwa ada transisi cepat probabilitas menemukan solusi tetapi ini tidak berarti peningkatan kompleksitas "intrinsik" untuk menemukan Siklus Hamiltonian. Hampir pasti ada algoritma waktu polinomial untuk menemukan Hamiltonian Cycles dalam Erdos-Renyi grafik acak, bahkan pada transisi kritis, baik dalam teori maupun dalam praktik.
Propagasi survei [8] telah berhasil dalam menemukan contoh yang memuaskan untuk acak 3-SAT sangat dekat dengan ambang kritis. Pengetahuan saya saat ini sedikit berkarat jadi saya tidak yakin apakah ada kemajuan besar dalam menemukan algoritma "efisien" untuk kasus yang tidak memuaskan di dekat ambang kritis. 3-SAT, sejauh yang saya tahu, adalah salah satu kasus di mana "mudah" untuk menyelesaikannya jika memuaskan dan mendekati ambang kritis tetapi tidak diketahui (atau sulit?) Dalam kasus tidak memuaskan dekat ambang kritis.
Pengetahuan saya agak ketinggalan jaman sekarang tetapi terakhir kali saya melihat subjek ini secara mendalam, ada beberapa hal yang menonjol bagi saya:
- Hamiltonian Cycle "mudah" untuk grafik acak Erdos-Renyi. Di mana masalah sulitnya?
- Nomor Partisi harus dipecahkan ketika sangat jauh di daerah probabilitas 0 atau 1 yang hampir pasti tetapi tidak ada algoritma yang efisien (setahu saya) ada untuk ukuran instance yang bahkan sedang (masing-masing 1000 nomor 500 bit, sejauh yang saya tahu, sepenuhnya tidak bisa digunakan dengan algoritma canggih). [9] [10]
- 3-SAT adalah "mudah" untuk instance yang memuaskan di dekat ambang kritis, bahkan untuk ukuran instance besar (jutaan variabel) tetapi sulit untuk contoh yang tidak memuaskan di dekat ambang kritis.
Saya ragu untuk memasukkannya di sini karena saya belum menerbitkan makalah peer-review darinya tetapi saya memang menulis tesis sayapada subjek. Gagasan utamanya adalah bahwa kemungkinan kelas ansambel acak (Hamiltonian Cycles, Number Partition Problem, dll.) Yang "secara intrinsik sulit" adalah yang memiliki properti "skala invarian". Distribusi Levy-stable adalah salah satu distribusi yang lebih alami dengan kualitas ini, memiliki kekuatan hukum ekor, dan orang dapat memilih contoh acak dari ansambel NP-Complete yang entah bagaimana menggabungkan distribusi Levy-stable. Saya memberikan beberapa bukti lemah bahwa instans Hamiltonian Cycle yang sulit secara intrinsik dapat ditemukan jika grafik acak dipilih dengan distribusi derajat Levy-stable daripada distribusi Normal (yaitu Erdos-Renyi). Jika tidak ada yang lain itu setidaknya akan memberi Anda titik awal untuk beberapa tinjauan literatur.
[1] AK Hartmann dan M. Weigt. Transisi Fase dalam Masalah Optimalisasi Kombinatorial: Dasar, Algoritma dan Mekanika Statistik. Wiley-VCH, 2005.
[2] B. Hayes. Masalah sulit termudah. American Scientist, 90 (2), 2002.
[3] B. Hayes. Di ambang pintu. American Scientist, 91 (1), 2003.
[4] B. Bollobás. Grafik Acak, Edisi Kedua. Cambridge University Press, New York, 2001.
[5] D. Angluin dan LG Valiant. Algoritma probabilistik cepat untuk sirkuit dan pencocokan Hamilton. J. Computer, Syst. Sci., 18: 155–193, 1979.
[6] B. Bollobás, TI Fenner, dan AM Frieze. Algoritma untuk menemukan jalur dan siklus Hamilton dalam grafik acak. Combinatorica, 7: 327–341, 1987.
[7] B. Vandegriend dan J. Culberson. Transisi fase G n, m tidaklah sulit untuk masalah siklus Hamilton. J. dari AI Research, 9: 219–245, 1998.
[8] A. Braunstein, M. Mézard, dan R. Zecchina. Perambatan survei: algoritme untuk kepuasan. Struktur dan Algoritma Acak, 27: 201–226, 2005.
[9] I. Gent dan T. Walsh. Analisis heuristik untuk partisi nomor. Kecerdasan Komputasi, 14: 430–451, 1998.
[10] CP Schnorr dan M. Euchner. Pengurangan basis kisi: Peningkatan algoritma praktis dan pemecahan masalah jumlah subset. Dalam Prosiding Dasar-Dasar Teori Komputasi '91, L. Budach, ed., Catatan Kuliah dalam Ilmu Komputer, volume 529, halaman 68-85, 1991.