Apakah memutuskan apakah mengubah satu entri mengurangi permanen matriks dalam hierarki polinomial?

Pertimbangkan masalah berikut: diberi matriks $M\in\{-m,\dots,0,\dots,m\}^{n\times n}$ , indeks $i,j\in\{1,\dots,n\}$ dan bilangan bulat $a$ . Ganti $M[i,j]$ oleh $a$ dan panggilan baru matriks . Apakah $\hat M$ $per(M)>per(\hat M)$ ?

Apakah masalah ini dalam hierarki polinomial?

permanent

— T ....
sumber

Ini dapat diselesaikan dengan dua panggilan ke oracle #P ... Jika itu di PH, maka itu akan menyiratkan bahwa PP juga di PH ... Namun, jika PP di PH, maka PH runtuh. Jadi saya pikir tidak mungkin ada di PH.

— Tayfun Bayar

@ PayfunPay Saya tidak berpikir argumen itu benar. Masalahnya dapat diselesaikan dengan 2 panggilan ke #P, tetapi tidak dapat dikesampingkan dengan mudah sehingga ada algoritma yang lebih sederhana yang mungkin menunjukkannya dalam PH. Anda harus menunjukkan itu sulit untuk #P untuk itu, misalnya dengan mengurangi Permanen untuk itu.

— Jan Johannsen

Jika Anda memasukkan definisi permanen dan menyederhanakan ketimpangan yang dihasilkan, masalah Anda bermuara pada pertanyaan apakah permanen dari matriks yang diberikan (n-1) -dengan- (n-1) benar-benar positif.

— Gamow

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{″}

$M''$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M^{″}) = - P E R (M^{'}) = - P E R (M)

$PER(M'') = -PER(M') = -PER(M)$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

M^{'}

$M'$

(i, j) = (0, 0)

$(i,j) = (0,0)$

a = - 1

$a = -1$ mengembalikan true.

— Serigala

@ holf: Saya pikir Anda harus memposting ini sebagai jawaban. Itu cukup definitif menjawab pertanyaan, dan kemudian pertanyaan itu tidak akan muncul sebagai "tidak dijawab" lagi.

— Joshua Grochow

Masalah Anda setara dengan pengujian, mengingat , apakah . $M$ $PER(M) > 0$

Bukti : Anggap Anda diberi dan Anda ingin memutuskan apakah . Kami membuat sebagai berikut: Ini adalah mudah dilihat bahwa . Sekarang, definisikan menjadi mana kita mengganti entri dengan . Dengan multilinearitas, maka . Jadi jika dan hanya jika $M$ $PER(M) > 0$ $M'$

[\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 \\ \dots & M \\ 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & & & & \\ \dots & & M & &\\ 0 & & & & \end{bmatrix}$

P E R (M) = P E R (M^{'})

$PER(M) = PER(M')$

\hat{M^{'}}

$\hat{M'}$

M^{'}

$M'$

(0, 0)

$(0,0)$

M^{'}

$M'$

- 1

$-1$

P E R (M) = P E R (M^{'}) = - P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M) = PER(M') = -PER(\hat{M'})$

P E R (M) > 0

$PER(M) > 0$

P E R (M^{'}) > P E R (\hat{M^{'}})

$PER(M') > PER(\hat{M'})$

Sekarang asumsikan Anda diberi , dan dan mendefinisikan seperti dalam pertanyaan Anda, yaitu dengan mengubah menjadi . Kami memiliki $M$ $(i,j)$ $a$ $\hat{M}$ $M[i,j]$ $a$

\begin{aligned} P E R (M) > & P E R (\hat{M}) iff \\ \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ} \prod_{k = 1}^{n} \hat{M} [k, σ (k)] iff \\ \sum_{σ, σ (i) = j} M [i, j] \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & \sum_{σ, σ (i) = j} a \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] iff \\ (M [i, j] - a) \cdot \sum_{σ, σ (i) = j} \prod_{k \neq i}^{n} M [k, σ (k)] > & 0 iff \\ (M [i, j] - a) \cdot P E R (M^{'}) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} PER(M) > & PER(\hat{M}) \text{ iff} \\ \sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma} \prod_{k=1}^n \hat{M}[k,\sigma(k)] \text{ iff} \\ \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} M[i,j] \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > &\sum_{\sigma, \sigma(i)=j} a \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot \sum_{\sigma, \sigma(i)=j} \prod_{k \neq i}^n M[k,\sigma(k)] > & 0 \text{ iff}\\ (M[i,j]-a) \cdot PER(M') > 0 \end{align}$

di mana adalah matriks yang diperoleh dari dengan menghapus baris dan kolom . $M'$ $(n-1) \times (n-1)$ $M$ $i$ $j$ $\square$

— serigala
sumber

Jawaban yang bagus, tetapi mungkin layak secara eksplisit menyatakan jawaban untuk pertanyaan OP juga.

— Stella Biderman