Apakah Hukum Pengecualian Tengah menyiratkan Aksioma K dalam Teori Tipe Intensional Martin-Löf?

Jadi saya bertanya-tanya apakah Hukum Pengecualian Menengah (LEM) menyiratkan apa yang disebut Axiom K dalam Teori Tipe Tipe Martin-Löf. Axiom K menyatakan bahwa Sebenarnya, saya telah mencoba untuk membuktikan pernyataan yang lebih umum bahwa tetapi setelah mengurangi menjadi dengan induksi kesetaraan, saya terjebak dalam masalah pertama. Saya juga mencoba melanjutkan dengan kontradiksi, tetapi sepertinya tidak berhasil ..

Π_{SEBUAH : T y hal e} Π_{x : SEBUAH} Π_{hal : Indo (x, x)}, Indo (hal, {refl}_{x})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

Π_{SEBUAH : T y hal e} Π_{x, y : SEBUAH} Π_{hal, q : Indo (x, y)}, Indo (hal, q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

Apakah ini terbukti?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
sumber

Ya, LEM menyiratkan K. Lihat Hott buku Teorema 7.2.5 , yang dikenal sebagai teorema Hedberg, yang menunjukkan bahwa setiap jenis dengan memenuhi kesetaraan decidable aksioma . Jika kita menganggap tengah dikecualikan, semua jenis memiliki kesetaraan yang dapat ditentukan. $K$

Prinsip kedua Anda dikenal sebagai UIP atau Bukti Keunikan Identitas. Ini sama dengan Axiom K, lihat Teorema 7.2.1 di buku HoTT (cukup gulir ke atas dari 7.2.5 per satu halaman). Tak satu pun dari ini dapat diturunkan dalam teori tipe intensifikasi Martin-Lof, oleh hasil terkenal Thomas Streicher dan Martin Hofmann .

— Andrej Bauer
sumber

Saya akan mengambil kesempatan ini untuk menyebutkan bukti elegan Alan Schmitt yang dengan jelas menyoroti unsur utama: kemampuan, memberikan bukti kesetaraan, untuk menghasilkan bukti kanonik.

— gallais

Namun, perlu juga dicatat bahwa, seperti juga ditunjukkan dalam Buku HoTT, ada bentuk yang lebih lemah dari "LEM" yang tidak menyiratkan K dan bisa dibilang apa yang benar-benar dimaksud oleh ahli matematika oleh LEM, yaitu LEM terbatas untuk jenis subsingleton.

— Mike Shulman