Menemukan 5 siklus dalam grafik jarang secara efisien.

(crossposted dari MathOverflow)

Hai,

Saya membaca utas ini: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Saya ingin menemukan 5 siklus dalam grafik. Sebenarnya, yang benar - benar saya inginkan adalah siklus ganjil terpendek dengan panjang minimal 5, tapi mungkin itu sedikit intinya. Untuk tujuan saya, saya memperlakukan dan sama dalam analisis kompleksitas. $m$ $n$

Bisakah kita melakukan lebih baik daripada pengkodean warna untuk menemukan 5 siklus dalam kasus ini? Biarkan saya memberikan rumusan spesifik dari pertanyaan saya:

Berapakah minimum sehingga ada algoritma waktu untuk mendeteksi siklus dengan panjang 5? Apa algoritma itu? Dan apa ini jika Anda melarang metode tidak praktis seperti perkalian matriks cepat Coppersmith-Winograd? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Andrew D. King
sumber

Crosspost dari MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Apakah grafik Anda memiliki struktur khusus, selain jarang? (Seperti degenerasi rendah, misalnya.)

— Robin Kothari

Tidak, Anda dapat membuat grafik jahat seperti yang diinginkan. Sebenarnya saya bahkan tidak peduli jika grafiknya jarang: Saya mempertimbangkan grafik garis

, dan grafik dasarnya

sehingga

(kita dapat menganggap

sederhana). Alasan saya memperlakukan

dan

sama yang saya tahu

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$ dan saya ingin menganalisis kompleksitas dalam hal

dan

, tapi aku tidak bisa mengatakan apa-apa tentang bagaimana

dibandingkan dengan

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Andrew D. King

Untuk menjadi jelas, Anda tidak keberatan jika siklus tersebut berisi simpul berulang, benar?

— user834

Saya tidak mengizinkan simpul berulang, tetapi untuk siklus 5 tidak masalah karena saya menganggap grafik sederhana dan karena itu tidak memiliki siklus 2.

— Andrew D. King

Jawaban:

Untuk menambah jawaban Mihai:

Memang, 5 siklus (dan secara umum -siklus ) dalam grafik jarang dapat dipecahkan lebih cepat daripada waktu menggunakan trik derajat tinggi / derajat rendah. Anda hanya perlu melihat kertas lain dari Alon, Yuster dan Zwick: $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

Misalnya, 5 siklus dapat ditemukan dalam waktu , tanpa ketergantungan pada perkalian matriks. Lihat Teorema 3.4 dari kertas terkait di atas. $O(m^{1.67})$

Selain itu, walaupun tidak terlalu sulit untuk mengurangi deteksi 5 siklus ke perkalian matriks Boolean (dengan overhead faktor konstan), pengurangan arah yang berlawanan tidak muncul dalam kertas kode warna. Pengurangan ketat (yang menjaga kompleksitas runtime) dari perkalian matriks Boolean ke deteksi 5-siklus tidak diketahui.

— Ryan Williams
sumber

Kasus padat pada dasarnya setara dengan perkalian matriks boolean dengan pengkodean warna. Lihat http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$

— Mihai
sumber

Terima kasih! Saya akan melihat kertas Monien ketika saya bisa mendapatkan akses ke sana.

— Andrew D. King