NP-Hardness dari kasus khusus masalah pengemasan ortogonal

Biarkan menjadi seperangkat bentuk persegi panjang dimensional. Untuk dan , menjelaskan panjang dalam dimensi . Notasi yang sama digunakan untuk wadah . Masalah pengemasan orthogonal dimensional (OPP- ) adalah memutuskan apakah cocok dengan wadah tanpa tumpang tindih. Secara formal, masalahnya adalah untuk mengetahui apakah ada fungsi , sehingga$V$$D$$d \in \{1,...,D\}$$v \in V$$w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$$v$$d$$C$$D$$D$$V$$C$$\forall d \in \{1,...,D\}$$f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$$\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$ dan , , .$\forall v_1,v_2 \in V$$(v_1 \neq v_2)$$[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$

Masalahnya adalah NP-lengkap (lihat Fekete SP, Schepers J. "Pada pengemasan dimensi tinggi I: Modeling". Laporan Teknis 97-288, Universitas di zu Köln, 1997). Masalahnya adalah NP-lengkap bahkan untuk . Saya bertanya-tanya, apakah masalah pengemasan ortogonal untuk jumlah jenis yang terbatas (yaitu ukuran di setiap dimensi) item masih lengkap atau tidak NP. Sampai sekarang saya menemukan hasil di beberapa makalah tentang NP-kelengkapan kotak pengemasan menjadi persegi (lihat JOSEPH YT. LEUNG, TOMMY W. TAM, DAN CS WONG, "Pengemasan kotak menjadi kotak", Journal of Parallel and Distributed Computing, Volume 10 Edisi 3, November 1990) yang sudah menjadi batasan tetapi saya masih tidak tahu apa yang terjadi ketika jumlah jenis barang dibatasi.$D=2$

Terima kasih atas jawaban Anda,

Saya pikir makalah yang ditulis oleh Klaus Jansen dan Roberto Solis-Oba " Algoritma OPT + 1 untuk Masalah Stok dengan Jumlah Konstan Panjang Objek " memiliki jawaban parsial untuk pertanyaan Anda. Mereka menganggap kasus khusus masalah Anda yang dikenal sebagai masalah Pemotongan Stok ketika jumlah jenis objek yang berbeda konstan dan didefinisikan sebagai berikut:

Dalam masalah pemotongan stok kita diberikan satu set dari tipe objek, di mana objek tipe memiliki panjang integer positif . Mengingat di fi nite set tempat sampah, masing-masing berkapasitas bilangan bulat , masalahnya adalah untuk membawa set dari objek ke minimum kemungkinan jumlah sampah sedemikian rupa bahwa kapasitas sampah tidak terlampaui; di set ada objek tipe , untuk semua .$T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$$T_i$$p_i$$\beta$$\mathcal{O}$$n$$\mathcal{O}$$n_i$$T_i$$i =1,\dots,d$

Penulis mengklaim itu

tidak diketahui apakah masalah stok pemotongan dapat diselesaikan dalam waktu polinomial untuk setiap nilai tetap .$d$

Dan mereka mengusulkan pendekatan polinomial-waktu algoritma ketika diperbaiki.$OPT+1$$d$

Karena tidak terbukti bahwa kasus khusus ini dalam , ini adalah bukti bahwa masalah Anda adalah .$P$$NP$

Addendum: itu dikenal bahwa kasus dengan dua jenis objek ( ) adalah polynomially dipecahkan, tetapi untuk ada hanya diketahui -approximation.$d=2$$d=3$$OPT+1$