Setiap angka transendental yang dapat dihitung yang dapat dihitung dalam waktu P tetapi bukan


9

Apakah ada yang dikenal sejumlah transendental dihitung seperti itu yang n digit th adalah dihitung dalam waktu polinomial, tapi tidak di HAI(n) ?


2
Itu masih tidak masuk akal. Apakah maksud Anda "... tetapi tidak tepat waktu HAI(n) ", atau apa?
Emil Jeřábek

Maksud saya dalam waktu P dan bukan dalam O(n) . Saya tidak yakin apakah bahasa Inggris saya salah atau milik Anda, tetap terima kasih atas komentar Anda.
XL _At_Here_There

2
Jika penulis berhasil merumuskan pertanyaan ini dalam bahasa Inggris yang dapat dibaca, maka itu mungkin terkait dengan dugaan Hartmanis-Stearns: Setiap bilangan real yang dihitung oleh mesin Turing multitape waktu nyata adalah transendental atau rasional.
Gamow

@ Rayam benar, tetapi tidak termasuk kasus dugaan Hartmanis-Stearns.
XL _At_Here_There

2
Saya mencoba membuat ini bisa dimengerti, tetapi masih belum jelas. Apakah maksud Anda tidak diketahui dapat dihitung dalam , atau terbukti tidak dapat dihitung dalam O ( n ) ? Apa model komputasi: mesin Turing tunggal atau multitape, atau yang lainnya? O(n)O(n)
Sasho Nikolov

Jawaban:


19

Ini adalah konstruksi dari nomor tersebut. Anda dapat berdebat apakah ini berarti nomor seperti itu "diketahui".

Ambil fungsi dari N hingga { 1 , 2 , , 8 } di mana digit ke - n tidak dapat dihitung dalam waktu O ( n ) . Fungsi semacam itu ada, misalnya, dengan teknik diagonalisasi biasa. Menafsirkan f ( n ) sebagai angka desimal ke - n dari beberapa bilangan real α . Sekarang, untuk setiap n dari bentuk 2 2 k , k 1 , ubah digit αfN{1,2,...,8}nHAI(n)f(n)nαn22kk1αdi posisi hingga 0 's. Angka yang dihasilkan β jelas mempertahankan properti bahwa digit ke - n tidak dapat dihitung dalam waktu O ( n ) , tetapi memiliki tak terhingga banyaknya perkiraan yang sangat baik oleh rasional, katakanlah untuk memesan O ( q - 3 ) , dalam bentuk p / q . Maka oleh teorema Roth β tidak bisa aljabar. (Ini tidak rasional karena memiliki blok 0 yang sewenang-wenangn,n+1,...,3n0βnHAI(n)HAI(q-3)hal/qβ0Dimatikan oleh nonzeros di kedua sisi.)


12

Lebih umum, untuk setiap konstan , ada nomor transendental dihitung dalam waktu polinomial, tetapi tidak dalam waktu O ( n k ) .k1O(nk)

Pertama, berdasarkan teorema hierarki waktu, ada bahasa tidak dapat dihitung dalam waktu O ( 2 k n ) . Kita dapat mengasumsikan L { 0 , 1 } , dan kami juga dapat mengasumsikan bahwa semua string w L memiliki panjang dibagi 3 .L0EO(2kn)L{0,1}wL3

Kedua, biarkan menjadi versi unary L 0 . Untuk kepastian, untuk setiap w { 0 , 1 } , misalkan N ( w ) menunjukkan bilangan bulat yang representasi binernya adalah 1 w , dan beri L 1 = { a N ( w ) : w L 0 } . Kemudian L 1P , tetapi L 1 tidak dapat dihitung dalam waktu OL1L0w{0,1}N(w)1wL1={aN(w):wL0}L1PL1 . Selain itu, L 1 memiliki properti berikut: untuk setiap m , L 1 tidak mengandung suatu n sehingga 2 3 m + 1n < 2 3 m + 3 .O(nk)L1mL1an23m+1n<23m+3

Ketiga, mari (Saya berasumsi di sini bahwa pertanyaannya adalah tentang menghitung angka dalam biner. Jika tidak, 2 di atas dapat diganti dengan basis yang diinginkan, itu tidak masalah.)

α={2-n:SebuahnL.1}.
2

Kemudian dapat dihitung dalam waktu polinomial, karena kita dapat menghitung bit n pertamanya dengan memeriksa apakah a , a 2 , , a n berada di L 1 . Untuk alasan yang sama, tidak dihitung dalam waktu O ( n k ) , sebagai n bit th menentukan apakah suatu nL 1 .αnSebuah,Sebuah2,...,SebuahnL.1HAI(nk)nSebuahnL.1

Untuk setiap , biarkan p = Σ { 2 2 3 m + 1 - n : n L 1 , n < 2 3 m + 1 } = a 2 2 3 m + 1, dan q = 2 2 3 m + 1 . Lalu | α - pm

hal={223m+1-n:nL.1,n<23m+1}=α223m+1,
q=223m+1 Jadi,αmemiliki ukuran irasionalitas setidaknya4, oleh karena itu transendental olehteorema Roth.
|α-halq|2-23m+3=q-4.
α4

2
Hmm, saya melihat bahwa saya diciduk. Saya tetap akan meninggalkan jawabannya, karena mungkin berguna untuk seseorang.
Emil Jeřábek

3
Saya telah memilih posting Jeffrey sebagai jawaban untuk pertanyaan, karena jawabannya diposting sebelumnya.
XL _At_Here_There

6
Iya. Saya akan mengingatkan diri sendiri lain kali agar tidak repot-repot membuang waktu dan tenaga untuk menulis jawaban menyeluruh dengan semua detail teknis, karena tampaknya lebih berharga untuk memposting beberapa menit sebelumnya.
Emil Jeřábek

3
: D, bagus! Semoga kita bisa menikmati lebih banyak topik.
XL _At_Here_There
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.