Apakah ada yang dikenal sejumlah transendental dihitung seperti itu yang digit th adalah dihitung dalam waktu polinomial, tapi tidak di ?
Apakah ada yang dikenal sejumlah transendental dihitung seperti itu yang digit th adalah dihitung dalam waktu polinomial, tapi tidak di ?
Jawaban:
Ini adalah konstruksi dari nomor tersebut. Anda dapat berdebat apakah ini berarti nomor seperti itu "diketahui".
Ambil fungsi dari N hingga { 1 , 2 , … , 8 } di mana digit ke - n tidak dapat dihitung dalam waktu O ( n ) . Fungsi semacam itu ada, misalnya, dengan teknik diagonalisasi biasa. Menafsirkan f ( n ) sebagai angka desimal ke - n dari beberapa bilangan real α . Sekarang, untuk setiap n dari bentuk 2 2 k , k ≥ 1 , ubah digit αdi posisi hingga 0 's. Angka yang dihasilkan β jelas mempertahankan properti bahwa digit ke - n tidak dapat dihitung dalam waktu O ( n ) , tetapi memiliki tak terhingga banyaknya perkiraan yang sangat baik oleh rasional, katakanlah untuk memesan O ( q - 3 ) , dalam bentuk p / q . Maka oleh teorema Roth β tidak bisa aljabar. (Ini tidak rasional karena memiliki blok 0 yang sewenang-wenangDimatikan oleh nonzeros di kedua sisi.)
Lebih umum, untuk setiap konstan , ada nomor transendental dihitung dalam waktu polinomial, tetapi tidak dalam waktu O ( n k ) .
Pertama, berdasarkan teorema hierarki waktu, ada bahasa tidak dapat dihitung dalam waktu O ( 2 k n ) . Kita dapat mengasumsikan L ⊆ { 0 , 1 } ∗ , dan kami juga dapat mengasumsikan bahwa semua string w ∈ L memiliki panjang dibagi 3 .
Kedua, biarkan menjadi versi unary L 0 . Untuk kepastian, untuk setiap w ∈ { 0 , 1 } ∗ , misalkan N ( w ) menunjukkan bilangan bulat yang representasi binernya adalah 1 w , dan beri L 1 = { a N ( w ) : w ∈ L 0 } . Kemudian L 1 ∈ P , tetapi L 1 tidak dapat dihitung dalam waktu O . Selain itu, L 1 memiliki properti berikut: untuk setiap m , L 1 tidak mengandung suatu n sehingga 2 3 m + 1 ≤ n < 2 3 m + 3 .
Ketiga, mari (Saya berasumsi di sini bahwa pertanyaannya adalah tentang menghitung angka dalam biner. Jika tidak, 2 di atas dapat diganti dengan basis yang diinginkan, itu tidak masalah.)
Kemudian dapat dihitung dalam waktu polinomial, karena kita dapat menghitung bit n pertamanya dengan memeriksa apakah a , a 2 , … , a n berada di L 1 . Untuk alasan yang sama, tidak dihitung dalam waktu O ( n k ) , sebagai n bit th menentukan apakah suatu n ∈ L 1 .
Untuk setiap , biarkan p = Σ { 2 2 3 m + 1 - n : n ∈ L 1 , n < 2 3 m + 1 } = ⌊ a 2 2 3 m + 1 ⌋ , dan q = 2 2 3 m + 1 . Lalu | α - p