Hierarki Waktu di DSPACE (O (s (n)))

Teorema hierarki waktu menyatakan bahwa mesin turing dapat memecahkan lebih banyak masalah jika mereka memiliki (cukup) lebih banyak waktu. Apakah itu tahan jika ruang terbatas asimptotik? Bagaimana $\textrm{DTISP}(g(n), O(s(n)))$ terkait dengan $\textrm{DTISP}(f(n), O(s(n)))$ jika $\frac{f}{g}$ tumbuh cukup cepat?

Saya terutama tertarik pada kasus yang $s(n) = n$ , $g(n) = n^3$ dan $f(n) = 2^n$ .

Secara khusus, saya dianggap berikut bahasa: $L_k := \{ (\langle M \rangle, w) \; : \; \text{M rejects } (\langle M \rangle, w) \text{ using at most } |\langle M \rangle, w|^3 \text{ time steps},$ $k * |\langle M \rangle, w| \text{ cells and four different tape symbols} \}$

Namun, $L_k$ bisa diputuskan dalam $n^3$ langkah dengan menggunakan $(k+1)n \in O(n)$ ruang.

Tanpa membatasi $M$ ke empat simbol pita dan dengan demikian memungkinkan untuk mengompresi sel-sel $O(n)$ menjadi $n$ sel, kita mendapatkan masalah ruang ketika mensimulasikan $M$ dengan terlalu banyak simbol pita. Dalam hal ini, bahasa tidak lagi dalam $\text{DSPACE}(O(n))$ . Hal yang sama terjadi ketika pengaturan $k = h(|w|)$ untuk beberapa $h$ yang dapat dihitung cukup cepat.

Pertanyaan ini pada dasarnya adalah pengulangan dari pertanyaan saya di sini .

Sunting Ringkasan: Mengubah $\textrm{DSPACE}(s(n)) \cap \textrm{DTIME}(f(n))$ menjadi $\textrm{DTISP}(f(n), s(n))$ , namun, saya pikir persimpangan juga layak untuk dipikirkan.

— Henning
sumber

Pertanyaan yang luar biasa !! Juga cukup menarik untuk melihat DTISP (g (n), s (n)) vs DTISP (f (n), s (n)) jika

tumbuh cukup cepat. DTISP (g (n), s (n)) mewakili bahasa yang dapat diselesaikan dengan algoritma tunggal yang berjalan paling banyak pada waktu g (n) menggunakan ruang s (n) sementara DTIME (g (n))

DSPACE (s (n)) mewakili bahasa dengan dua algoritma di mana satu algoritma berjalan dalam waktu g (n) dan algoritma lainnya berjalan dalam ruang s (n).

\frac{f}{g}

$\frac{f}{g}$

\cap

$\cap$

— Michael Wehar

Ups ... Saya benar-benar menulis D-SPACE (O (s (n))) - TIME (g (n)) pertama, tapi saya tidak suka tampilan apa yang dibuat MathJax dari itu, jadi saya segera mengubahnya ke DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)) tanpa banyak berpikir tentang hal itu. Pertanyaan awal saya adalah tentang apa yang saya tulis pertama, tetapi persimpangan DSPACE (O (s (n))) ∩ DTIME (g (n)) juga sangat menarik - Saya senang saya melakukan kesalahan ini. Jelas DTISP (g (n), s (n)) ⊆ DTIME (g (n)) ∩ DSPACE (s (n)). Apakah ini inklusi yang tepat? Menurut wikipedia, kelayakannya tidak diketahui untuk DTISP (P, PolyL) ⊆ DTIME (P) ∩ DSPACE (PolyL): wikiwand.com/en/SC_(complexity)

— Henning

Keren!! Terimakasih atas klarifikasi Anda. Saya sangat tertarik dengan masalah seperti ini. :)

— Michael Wehar

. Jadi, kasus kedua Anda sepele.

D T I S P (2^{n}, n) = D S P A C E (n)

$DTISP(2^n,n)=DSPACE(n)$

— rus9384

Perlu disebutkan bahwa hierarki waktu untuk jumlah ruang tetap dapat diperoleh untuk mesin Turing dengan kaset

untuk fix

dengan menggunakan argumen yang mirip dengan Hopcroft-Paul-Valiant dan hierarki waktu ketat untuk mesin

-tape. Lihat misalnya WJ Paul. `Tepat waktu hierarki 'dalam STOC'77

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Sam McGuire

Ini adalah masalah terbuka: Terbuka apakah (atau bahkan ). Kita hanya tahu bahwa $\mathrm{DTISP}(O(n \log n),O(n)) = \mathrm{DSPACE}(O(n))$ $\mathrm{NSPACE}(O(n))$ . $\mathrm{DTIME}(O(n))⊆\mathrm{DSPACE}(O(n/\log n))$

Namun, di bawah dugaan kompleksitas komputasi yang masuk akal, ada hierarki yang tepat. Misalnya, jika untuk setiap , CIRCUIT-SAT ∉ io- , maka mana , adalah , dan adalah konstruk ruang-waktu. $ε>0$ $O(2^{n-ε})$ $\mathrm{DTISP}(O(f),O(s(n))) ⊊ \mathrm{DTISP}(O(f^{1+ε}),O(s(n)))$
$f(n)≥n$ $f(n)$ $2^{o(\min(n,s(n)))}$ $f$

Khususnya (berdasarkan hipotesis), adanya penugasan yang memuaskan untuk rangkaian dengan input dan ukuran berfungsi sebagai contoh berlawanan dengan kesetaraan kelas. $⌊\mathrm{lg}(f^{1+ε/2})⌋$ $(\log f)^{O(1)}$

Catatan:

CIRCUIT-SAT setidaknya sekeras -SAT (yang digunakan dalam hipotesis waktu eksponensial yang kuat). $k$
Per konvensi, dalam CIRCUIT-SAT, adalah jumlah kabel input; ukuran sirkuit adalah . $n$ $n^{O(1)}$
Jika asumsi menggunakan CIRCUIT-SAT untuk ukuran rangkaian quasilinear, maka ikatan pada dapat dilonggarkan ke . Juga, asumsi yang lebih lemah / kuat pada kekerasan CIRCUIT-SAT memberikan hierarki yang lebih lemah / kuat (yang saat ini dapat kita buktikan). $f(n)$ $O((2-ε)^{\min(n,s(n))})$
io berarti sering tanpa batas, dan dapat dijatuhkan untuk yang dalam arti tertentu terus menerus (termasuk ). $f$ $f(n)=n^a$
Tampaknya hierarki DTISP cukup tajam untuk membedakan dari (dan mungkin ) (ketika tidak terlalu besar relatif terhadap ruang yang diizinkan). $O(f)$ $o(f/\log f)$ $o(f)$ $f$
Untuk membedakan dari , kita hanya perlu asumsi P ≠ PSPACE yang lebih lemah. $n^a$ $2^n$

— Dmytro Taranovsky
sumber