Tinjauan tingkat tinggi dari metode pendekatan Razborov

Apa metode pendekatan Razborov? Bisakah seseorang memberikan ikhtisar tingkat tinggi dan intuisi di baliknya?

Biarkan menjadi fungsi Boolean di -bits. Biarkan . Biarkan menjadi sirkuit pada n bit dan ukuran dan gerbang . juga menunjukkan fungsi pada bit yang dihitung oleh subcircuit dengan sebagai gerbang terakhir. Pertama gerbang adalah untuk masukan . Tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa dengan ukuran tidak dapat menghitung . Pertimbangkan semua perhitungan pada input darin Z = f - 1 ( 0 ) ⊆ 2 n C m g 1 , … , g m g i n g i n x 1 , … , x n C m f C Z B P ( Z $f$$n$$Z = f^{-1}(0) \subseteq 2^n$$C$$m$$g_1, \ldots, g_m$$g_i$$n$$g_i$$n$$x_1, \ldots, x_n$$C$$m$$f$$C$$Z$. Komputasi memberikan nilai ke output gerbang. Biarkan menjadi aljabar Boolean dari .$B$$P(Z)$

Idenya adalah untuk mempertimbangkan untuk setiap fungsi pada -bits seberapa baik mendekati pada . Biarkan .n f Z | | g | | = { w ∈ Z ∣ g ( w ) ≠ 0 $g$$n$$f$$Z$$||g|| = \{w \in Z \mid g(w) \neq 0 \}$

Untuk ultrafilter kita dapat mendefinisikan komputasi baru dengan ultraproduk darinya: iff . Karena ultrafilter pada dasarnya adalah seperangkat perhitungan konsisten untuk nilai 0, dihasilkan adalah perhitungan yang valid. Itu akan mengikuti bahwa . Kami membuat perhitungan baru dari yang sudah ada. Karena semua ultrafilters pada set terbatas yang utama . Ini berfungsi untuk sirkuit apa pun, kami belum mengeksploitasi fakta bahwa rangkaian berukuran .c ( g i ) = 0 | | g i | | ∉ F c f ( c 1 , ... , c n ) = 0 c 1 , ... , c n ∈ Z $F \subseteq B$$c(g_i) = 0$$||g_i|| \not\in F$$c$$f(c_1, \ldots, c_n) = 0$$c_1,\ldots,c_n \in Z$$m$

Gagasan berikutnya adalah untuk mengeksploitasi keterbatasan sirkuit untuk membangun input baru yang berada di luar dan tetapi sirkuit tidak memperhatikan karena ukurannya yang terbatas dan oleh karena itu masih menghasilkan 0. Jadi tidak menghitung .f ( w ) ≠ 0 $Z$$f(w) \neq 0$$f$

Kita perlu untuk bersantai definisi ultrafilter sehingga kita bisa mendapatkan masukan luar . Sebagai pengganti ultrafilters kami menggunakan himpunan bagian atas ditutup ( dan menyiratkan ) yang melestarikan bertemu ( menyiratkan ).B a ∈ F a ⊆ b b ∈ F a , b ∈ F a ∩ b ∈ $Z$$B$$a \in F$$a \subseteq b$$b \in F$$a,b \in F$$a \cap b \in F$

Biarkan . adalah set input konsisten dengan . Jika adalah bilangan prima ( menyiratkan atau ) dan nonfull ( ) maka untuk setiap , berisi salah satu ataudan hanya berisi satu input.W F F F a ∪ b ∈ F a ∈ F b ∈ F ∅ ∉ F i F | | $W_F = \{w \in 2^n \mid w_i = 0 \to ||\lnot x_i|| \in F, w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F\}$$W_F$$F$$F$$a \cup b \in F$$a \in F$$b \in F$$\emptyset \not\in F$$i$$F$| | ¬ x i | | W $||x_i||$$||\lnot x_i||$$W_F$

Kita akan bersantai pelestarian pertemuan. Sebagai ganti semua pertemuan dalam aljabar Boolean, kami akan mempertahankan sejumlah kecil dari mereka. Biarkanmenjadi nomor terkecil dari bertemu sehingga untuk semua atas tertutup, nonfull, -preserving , .k M = ( a 1 ∩ b 1 , … , a k ∩ b k ) M F W F ⊆ $|f|$$k$$M = (a_1 \cap b_1, \ldots, a_k \cap b_k)$$M$$F$$W_F \subseteq Z$

Biarkan menjadi kompleksitas rangkaian . Razborov membuktikan bahwa .f $m$$f$$\frac{1}{2}|f| \leq m \leq O(|f|^3 + n^3)$

Perhatikan bahwa ketidaksetaraan ini berlaku untuk semua fungsi. Untuk membuktikan ukuran sirkuit menurunkan terikat menunjukkan bahwa untuk semua -meets , ada yang memenuhi kondisi tapi tidak terkandung dalam . Terlebih lagi setiap rangkaian bawah yang kuat dapat dibuktikan dengan metode ini karena ketidaksetaraan kedua.m M F W F$m$$m$$M$$F$$W_F$$Z$

Bagian yang sebenarnya dari rangkaian bukti batas bawah adalah untuk menunjukkan bahwa untuk diberikan , untuk setiap -meets ada seperti . Dalam kasus sirkuit monoton, kondisi tentang disederhanakan menjadi jadi datang dengan lebih mudah.m F W F w i ≠ 0 → | | x i | | ∈ F $m$$m$$F$$W_F$$w_i \neq 0 \to ||x_i|| \in F$$F$

Alexander Razborov, Tentang Metode Perkiraan, 1989. pdf

Mauricio Karchmer, Sedang Membuktikan Batas Bawah untuk Ukuran Sirkuit, 1995.

Tim Gowers, metode aproksimasi Razborov, 2009. pdf

Penafian : Ini hanya ikhtisar tingkat tinggi yang dimaksudkan untuk memberikan beberapa intuisi terhadap metode yang digunakan dalam makalah Blum terbaru.

Saya akan mencoba menggunakan notasi yang lebih dekat dengan apa yang digunakan dalam makalah yang disebutkan di atas.

Biarkan menjadi fungsi Boolean pada variabel . Misalkan kita ingin membuktikan bahwa setiap komputasi jaringan Boolean memiliki ukuran besar.n x 1 , … , x n$f$$n$$x_1,\dots,x_n$$f$

Mengingat beberapa jaringan Boolean komputasi pada node output, mempertimbangkan proses berikut.$\beta$$f$

1. Pesan gerbang dalam menurut beberapa urutan topologi mana simpul terakhir adalah simpul keluaran.g 1 , g 2 , … , g $\beta$$g_1,g_2,\dots,g_m$
2. Untuk setiap kali langkah kita akan memperkirakan fungsi yang dihitung di gate dengan fungsi “sederhana” . Perkiraan ini dapat mengubah fungsi yang dihitung pada node hilir dari (khususnya, fungsi pada node keluaran mungkin telah berubah).g t f g t g t g $t=1,\dots,m$$g_t$$f_{g_t}$$g_t$$g_m$

Pada akhir proses ini, kita akan memperkirakan fungsi yang dihitung pada oleh fungsi sederhana .f g $g_m$$f_{g_m}$

Selanjutnya buat sekelompok input uji .$T\subseteq \{0,1\}^n$

Misalkan kita dapat membuktikan pernyataan berikut:

• Perkiraan masing-masing node individu adalah baik (yaitu, paling banyak kesalahan -banyak diperkenalkan pada input dari pada setiap langkah pendekatan).$e$$T$
• f g $f$$f_{g_m}$$f_{g_m}\neq f$$d$$T$

$\beta$$\tfrac{d\lvert T\rvert}{e}$

$\beta$$f$$f$