Tardos Function Counterexample ke Klaim Blum's

Dalam utas ini , percobaan Norbet Blum dengan singkat dibantah dengan mencatat bahwa fungsi Tardos adalah contoh tandingan terhadap Teorema 6. $P \neq NP$

Teorema 6 : Biarkan menjadi fungsi Boolean monoton. Asumsikan ada CNF-DNF-approximator yang dapat digunakan untuk membuktikan batas bawah untuk . Kemudian juga dapat digunakan untuk membuktikan batas bawah yang sama untuk . $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

Inilah masalah saya: fungsi Tardos bukan fungsi Boolean, jadi bagaimana cara memenuhi hipotesis Teorema 6?

Dalam makalah ini , mereka membahas kompleksitas fungsi , yang secara umum bukan fungsi Boolean monoton, karena peningkatan tepian dapat membuat lebih besar untuk membuat false ketika itu benar dengan lebih sedikit di input. Fungsi secara umum tidak menghitung pada dan pada . $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$

Faktanya, set tes dan dipilih dengan tepat sehingga menghitung pada dan pada dengan monotonitas berarti fungsi Anda dalam menghitung secara tepat CLIQUE (mereka menentukan batas dan dalam kisi input ), jadi pernyataan ini menyiratkan bahwa fungsi Tardos sama dengan CLIQUE, yang jelas tidak benar. $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

Namun, begitu banyak orang - dan orang-orang yang berpengetahuan luas - mengklaim bahwa fungsi Tardos memberikan contoh tandingan segera, jadi pasti ada sesuatu yang saya lewatkan. Bisakah Anda memberikan penjelasan terperinci atau bukti bagi kami yang merupakan pihak yang berkepentingan tetapi tidak cukup pada level Anda?

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— pengguna144527
sumber

Sumber yang baik adalah buku Jukna, hal.272 (tepat sebelum Teorema 9.28). Dengan fungsi (non-Boolean) , pertimbangkan fungsi Boolean yang merupakan ambang dari : Hasilnya kemudian berlaku.

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— Clement C.

Jadi, untuk menjadi jelas, Anda mengatakan kepada saya bahwa akan mengevaluasi ke pada klik ukuran dan pada grafik simpul yang disebabkan oleh pewarnaan ?

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— user144527

Tentu saja, THS tidak berlaku untuk setiap . Tetapi fungsi Tardo didasarkan pada fungsi grafik monoton memuaskan . Jadi, thresholding dari melakukan apa yang Anda katakan. Lihat akhir Bagian 9.8 di sini .

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Stasys

Kanan. Btw Saya sebenarnya tidak mengerti mengapa orang-orang memilih Anda (memenuhi syarat karena semua kebisingan di sekitar "bukti" ini) ini? Sekarang adalah penulis dari pergantian P! = NP ini: jelaskan mengapa "bukti" TIDAK akan berfungsi untuk fungsi Tardo. Arahkan ke halaman X dan baris Y di kertas. Petunjuk: bug akan membatasi jumlah kesalahan yang diperkenalkan selama perkiraan (negasi dapat memusnahkan banyak istilah yang sebelumnya "valid"). Kalau tidak (tidak ada penjelasan) = tidak ada "bukti".

— Stasys

@Stasys, komentar pertama Anda bisa menjadi jawaban.

— Kaveh

jadi pernyataan ini menyiratkan bahwa fungsi Tardo sama dengan CLIQUE. $f$

Jawaban singkat - TIDAK.

Itu hanya monoton "klik-suka": menerima semua -cliques, dan menolak semua grafik partpart lengkap. Namun demikian, ia dapat menerima beberapa grafik yang ditolak oleh CLIQUE: grafik dengan tetapi (disebut "tidak sempurna" grafik). The kertas oleh Grötschel, Lovasz dan Schrijver menyiratkan bahwa memiliki sirkuit non-monoton ukuran polinomial. Tapi, menurut Teorema 6 di "bukti" , setiap monoton clique-seperti Boolean fungsi membutuhkan sirkuit non-monoton dari ukuran super-polinomial. Jadi, salah satu dari dua makalah ini harus $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ salah Makalah GLS-1981 berdiri sudah> 35 tahun ...

Apa yang dilakukan Tardo adalah sebagai berikut. Dia mulai dari fungsi grafik , di mana adalah fungsi theta Lovász yang terkenal. Fakta mendasar adalah bahwa bilangan diapit antara bilangan klik dan bilangan kromatik: . Dia kemudian menggunakan fakta bahwa dapat diperkirakan dalam waktu polinomial. Berdasarkan ini, ia mendefinisikan fungsi grafik dengan properti berikut: $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ $\phi(G)$

Nilai dapat dihitung dalam waktu polinomial (dalam jumlah simpul). $\phi(G)$ $n$
$\phi$ adalah monoton: menambahkan edge hanya dapat meningkatkan nilainya.
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ berlaku untuk semua grafik . $G$

Kemudian (seperti yang dicatat oleh Clement C.) ia mendefinisikan fungsi Boolean monoton yang diinginkan sebagai: iff . Oleh (1), fungsi tersebut memiliki sirkuit (non-monoton) dengan ukuran polinomial. Oleh (2), adalah fungsi Boolean monoton. Dengan (3), menerima semua -cliques, dan menolak semua grafik partpart lengkap. $f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ $(k-1)$

Lihat di sini untuk detail teknis.

— Stasys
sumber

Makalah GLS-1981 ada di sini secara gratis. Makalah ini, pada gilirannya, didasarkan pada kertas elipsoid Khachiyan-1979. Jadi, (setidaknya) salah satu dari ketiga makalah ini pasti salah?

— Tobias Müller

@Tobias: yah, kami cukup yakin bahwa dua> 35 makalah lama ini benar (berkali-kali direproduksi dalam kuliah, seseorang pasti sudah melihat kesalahan). Masalah dengan "bukti" saat ini adalah bahwa "oleh konstruksi", bukan "dengan argumen" (seperti dalam dua makalah yang disebutkan). Kemudian dibendung sulit untuk menunjuk ke tempat tertentu , di mana "konstruksi" gagal. Terutama ketika "konstruksi" begitu tidak tepat. Inilah mengapa saya pikir sekarang adalah TUGAS penulis, bukan dari kita, untuk menunjuk ke tempat ini (di mana Tardos tidak melalui konstruksinya.)

— Stasys