Contoh menunjukkan kekuatan sirkuit non-deterministik

Sirkuit Boolean yang non-deterministik memiliki, di samping input biasa , satu set input "non-deterministik" . Sirkuit non-deterministik menerima input jika ada sedemikian sehingga output sirkuit on . Analog dengan $x = (x_1,\dots,x_n)$ $y=(y_1,\dots,y_m)$ $C$ $x$ $y$ $1$ $(x,y)$ $P/poly$ (kelas bahasa yang dapat ditentukan oleh sirkuit ukuran polinom), dapat didefinisikan sebagai kelas bahasa yang dapat ditentukan oleh sirkuit polinomial ukuran non-deterministik. Hal ini secara luas diyakini bahwa sirkuit non-deterministik lebih kuat daripada sirkuit deterministik, khususnya menyiratkan bahwa hirarki polinomial runtuh. $NP/poly$ $NP \subset P/poly$

Apakah ada contoh eksplisit (dan tanpa syarat) dalam literatur yang menunjukkan bahwa sirkuit non-deterministik lebih kuat daripada sirkuit deterministik?

Secara khusus, apakah Anda tahu keluarga fungsi dihitung oleh sirkuit non-deterministik dengan ukuran , tetapi tidak dapat dihitung dengan sirkuit deterministik ukuran ? $\{f_n\}_{n > 0}$ $cn$ $(c+\epsilon)n$

cc.complexity-theory circuit-complexity nondeterminism

— Gustav Nordh
sumber

Saya tidak berpikir bahwa keluarga seperti itu dikenal. Berikut adalah makalah baru-baru ini mempelajari sirkuit non-deterministik: arxiv.org/abs/1504.06731 Saya ingat bahwa sebelum menerbitkan makalah, Hiroki mengajukan pertanyaan serupa di sini

— Alexander S. Kulikov

Terima kasih. Saya berasumsi pertanyaan yang Anda ajukan adalah ini: cstheory.stackexchange.com/q/25736 yang terkait, tetapi meminta batas bawah pada kompleksitas sirkuit non-deterministik.

— Gustav Nordh

Salah satu properti penting dari sirkuit non-deterministik adalah bahwa mereka selalu dapat diubah menjadi sirkuit kedalaman-2 yang setara dengan menambahkan lebih banyak input non-deterministik, menggunakan ide yang sama seperti dalam pengurangan dari CircuitSAT ke SAT. Secara khusus, ini berarti bahwa sirkuit non-deterministik kedalaman 2 dapat menghitung paritas n bit dalam ukuran polinomial, sedangkan sirkuit deterministik kedalaman 2 komputasi paritas harus berukuran 2 ^ n-1.

— Atau Meir

Poin bagus! Khususnya dalam kaitannya dengan hasil Hiroki yang disebutkan di atas bahwa kompleksitas sirkuit non-deterministik paritas adalah 3 (n-1), yang sama dengan kompleksitas sirkuit deterministik paritas.

— Gustav Nordh

Kasus rumus DeMorgan mirip dengan sirkuit kedalaman-2 yang disebutkan di atas. Rumus DeMorgan non-deterministik dapat menghitung paritas n bit dalam ukuran linier, menggunakan ide-ide serupa dengan sirkuit kedalaman-2, sedangkan rumus DeMorgan deterministik membutuhkan ukuran kuadratik dengan teorema Khrapchenko.

— Hiroki Morizumi

Jika masalah ini tidak ada kemajuan, saya punya jawaban.

Saya juga telah mempertimbangkan masalah ini sejak makalah COCOON'15 saya (sebelum pertanyaan Anda).

Sekarang, saya punya strategi bukti, dan segera memberikan berikut teorema: Ada fungsi Boolean sehingga nondeterministic kompleksitas -circuit dari adalah paling dan deterministik -circuit kompleksitas adalah . $f$ $U_2$ $f$ $2n + o(n)$ $U_2$ $f$ $3n - o(n)$

Saya minta maaf karena saya belum menulis makalah. Sketsa bukti di bawah ini mungkin cukup untuk menjelaskan strategi pembuktian saya. Saya bertujuan untuk menulis makalah dengan hasil lebih banyak dengan batas waktu STACS (1 Oktober).

[Sketsa Bukti]

Biarkan $f = \lor_{i=0}^{\sqrt{n}-1}{Parity_{\sqrt{n}}(x_{\sqrt{n} \cdot i + 1}, \ldots, x_{\sqrt{n} \cdot i + \sqrt{n}}})$

Bukti batas bawah deterministik didasarkan pada metode eliminasi gerbang standar dengan sedikit modifikasi.

Bukti batas atas nondeterministik adalah konstruksi dari rangkaian nondeterministik tersebut.

$Parity_{\sqrt{n}}$ $o(n)$
$\sqrt{n}$ $2n + o(n)$
Gabungkan kedua sirkuit.

— Hiroki Morizumi
sumber

Ada yang salah dengan batas. Kompleksitas non-deterministik tidak boleh lebih besar dari kompleksitas deterministik.

— Emil Jeřábek mendukung Monica

Terima kasih atas jawaban Anda, persis apa yang saya cari!

— Gustav Nordh