Apakah ?

Saya berharap jawabannya adalah tidak, tetapi saya tidak bisa benar-benar membuat contoh tandingan. Perbedaannya adalah pada , kita mungkin tidak dapat memilih algoritma secara seragam dalam .∩ ε > 0 D T I M E ( O ( n 2 + ε ) ) O ( n 2 + ε ) $∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$$O(n^{2+ε})$$ε$

Dengan argumen dovetailing (misalnya, lihat pertanyaan ini ), jika ada satu set mesin Turing memutuskan bahasa sedemikian rupa sehingga , maka adalah dalam .M i L ∀ ε > 0 ∃ M i ∈ O ( n 2 + ε ) L D T I M E ( n 2 + o ( 1 )$M_i$$L$$∀ε>0 ∃M_i ∈ O(n^{2+ε})$$L$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Diberikan mesin Turing, apakah mesin itu berjalan dalam waktu adalah . Apakah suatu bahasa (diberi kode untuk mesin mengenalinya) ada di adalah (dan ); apakah bahasa dalam adalah . Jika kita dapat membuktikan kelengkapan (atau hanya Σ ^ 0_3 ) dari \ mathrm {DTIME} (n ^ {2 + o (1)}) , itu akan menyelesaikan masalah, tetapi saya tidak yakin bagaimana melakukannya bahwa.n 2 + o ( 1 ) Π 0 3 D T I M E ( n 2 + o ( 1 ) ) Σ 0 4 Π 0 3 ∩ ε > 0 D T I M E ( O ( n 2 + ε ) ) Π 0 3 Σ 0 4 Σ 0 3 D T I $n^{2+o(1)}$$Π^0_3$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$$Σ^0_4$$Π^0_3$$∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε}))$$Π^0_3$$Σ^0_4$$Σ^0_3$$\mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$

Masalahnya juga akan terpecahkan jika kita menemukan urutan bahasa $L_i$ sedemikian rupa sehingga
* $L_i$ memiliki algoritma keputusan O (n ^ {2 + 1 / i}) alami $O(n^{2+1/i})$(seragam di $i$ ).
* Setiap $L_i$ terbatas.
* Tidak hanya ukuran $L_i$ tidak dapat diputuskan, tetapi suatu algoritma tidak dapat mengesampingkan $w∈L_i$ jauh lebih cepat daripada $O(n^{2+1/i})$ (untuk kasus terburuk $w$ ), kecuali untuk banyak i secara terbatas $i$(bergantung pada algoritma).

Saya juga ingin tahu apakah ada contoh penting / menarik (untuk $∩_{ε>0} \mathrm{DTIME}(O(n^{2+ε})) \setminus \mathrm{DTIME}(n^{2+o(1)})$ atau hubungan analog).

Berikut adalah contoh tandingan, yaitu bahasa dengan algoritma O ( n 2 + ε ) (menggunakan mesin multitape Turing) untuk setiap ε > 0 , tetapi tidak seragam dalam ε : Terima 0 k 1 m iff k > 0 dan k th Turing mesin berhenti kurang dari m 2 + 1 / k menginjak input kosong. String lainnya ditolak.$O(n^{2+ε})$$ε>0$$ε$
$0^k 1^m$$k>0$$k$$m^{2+1/k}$

Untuk setiap ε , kami mendapatkan algoritma O ( n 2 + ε ) dengan melakukan hardcoding pada semua mesin nonhalting yang cukup kecil, dan mensimulasikan sisanya.$ε$$O(n^{2+ε})$

Sekarang, pertimbangkan mesin Turing M yang memutuskan bahasa.$M$

Biarkan M ′ (pada input kosong) menjadi implementasi yang efisien dari hal berikut: untuk n dalam 1,2,4,8, ...:      gunakan M untuk memutuskan apakah M ′ berhenti di < n 2 + 1 / M ′ langkah .      hentikan iff M mengatakan bahwa kita tidak berhenti tetapi kita masih bisa berhenti dalam langkah < n 2 + 1 / M ′ .$M'$
$n$
$M$$M'$$<n^{2+1/M'}$
$M$$<n^{2+1/M'}$

Dengan ketelitian M , M ′ tidak berhenti, tetapi M mengambil Ω ( n 2 + 1 / M ′ ) -langkah pada input 0 M ′ 1 n - M ′ untuk banyak sekali n . (Jika M terlalu cepat, maka M ′ akan bertentangan dengan M. Batas Ω ( n 2 + 1 / M ′ ) tergantung pada M $M$$M'$$M$$Ω(n^{2+1/M'})$$0^{M'} 1^{n-M'}$$n$$M$$M'$$M$$Ω(n^{2+1/M'})$$M'$mensimulasikan M dalam waktu linier dan dinyatakan efisien.)$M$