Apakah BPP vs P merupakan masalah nyata setelah kita tahu BPP terletak pada P / poli?


16

Kami tahu (untuk saat ini sekitar 40 tahun, terima Adleman, Bennet dan Gill) bahwa masuknya BPP P / poli, dan bahkan lebih kuat BPP / poli P / poli ditahan. "/ Poli" berarti bahwa kita bekerja secara tidak seragam (sirkuit terpisah untuk setiap panjang input ), sementara P tanpa "/ poli" ini berarti kita memiliki satu mesin Turing untuk semua panjang input yang mungkin , bahkan lebih lama dari, katakanlah, = jumlah detik ke "Big Bang" berikutnya. nnnn

Pertanyaan 1: Apa yang baru yang akan menjadi bukti (atau penolakan) BPP = P berkontribusi untuk pengetahuan kita setelah kita mengetahui BPP P / poly?

Di bawah "baru" yang saya maksud adalah konsekuensi yang benar-benar mengejutkan, seperti runtuhnya / pemisahan kelas kompleksitas lainnya. Bandingkan ini dengan konsekuensi yang akan diberikan bukti / non-aktifkan NP P / poly.

[TAMBAH 08.10.2017]: Satu konsekuensi yang sangat mengejutkan dari BPP P adalah bahwa, seperti yang ditunjukkan oleh Impagliazzo dan Wigderson , semua masalah (!) Di E = DTIME [2 ^ {O (n)}] akan memiliki sirkuit berukuran 2 ^ {o (n)} . Terima kasih kepada Ryan karena mengingat hasil ini. 2 o ( n )[2O(n)]2o(n)

Pertanyaan 2: Mengapa kami tidak dapat membuktikan BPP = P sepanjang garis yang sama dengan bukti BPP / poly P / poly?

Satu "jelas" kendala adalah masalah domain terbatas hingga tak terbatas: sirkuit boolean bekerja di atas domain terbatas , sedangkan mesin Turing bekerja di seluruh set {0,1} dari 0 - 1 string dengan panjang berapa pun. Jadi, untuk derandomisasi sirkuit boolean probabilistik, cukup untuk mengambil sebagian besar salinan independen dari sirkuit probabilistik, dan untuk menerapkan ketimpangan Chernoff, bersama dengan ikatan serikat pekerja. Tentu saja, di atas domain tak terbatas , aturan mayoritas sederhana ini tidak akan berfungsi.

Tetapi apakah ini (domain tanpa batas) benar-benar "penghalang"? Dengan menggunakan hasil dari teori belajar statistik (dimensi VC), kita sudah dapat membuktikan bahwa BPP / poly P / poly juga berlaku untuk sirkuit yang bekerja pada domain tak terbatas , seperti sirkuit aritmatika (bekerja pada semua bilangan real); lihat misalnya makalah Cucker ini di al. Ketika menggunakan pendekatan yang serupa, yang kita perlukan adalah menunjukkan bahwa dimensi VC dari mesin Turing poli-waktu tidak boleh terlalu besar. Adakah yang melihat upaya untuk melakukan langkah terakhir ini?


CATATAN [ditambahkan 07.10.2017]: Dalam konteks derandomisasi, dimensi VC dari kelas fungsi didefinisikan sebagai angka maksimum yang memiliki fungsi di such bahwa untuk setiap ada titik dengan jika dan hanya jika . Yaitu kita hancurkan bukan set poin melalui fungsi melainkan set fungsi melalui poin. (Dua definisi yang dihasilkan dari dimensi VC terkait, tetapi secara eksponensial.)f : X Y v f 1 , , f v F S { 1 , , v } ( x , y ) X × Y f i ( x ) = y i SFf:XYvf1,,fvFS{1,,v}(x,y)X×Yfi(x)=yiS

Hasilnya (dikenal sebagai konvergensi seragam dalam probabilitas ) kemudian menyiratkan yang berikut: jika untuk setiap input , fungsi yang dipilih secara acak (di bawah beberapa distribusi probabilitas pada ) memenuhi untuk konstanta , maka dapat dihitung pada semua input sebagai mayoritas dari beberapa (tetap) fungsi dari . Lihat, misalnya, Corollary 2 dalam makalah Haussler . [Agar ini bisa bertahan, ada beberapa kondisi terukur ringan pada ] xXfFFProb{f(x)=f(x)}1/2+cc>0f(x)xXm=O(v)FF

Misalnya, jika adalah himpunan semua polinomial dihitung oleh sirkuit aritmatika ukuran , maka semua polinomial di memiliki derajat paling banyak . Dengan menggunakan batas atas yang diketahui pada jumlah nol pola polinomial (lihat, misalnya makalah ini ), orang dapat menunjukkan bahwa dimensi VC dari adalah . Ini menyiratkan dimasukkannya BPP / poli P / poli untuk sirkuit aritmatika.Ff:RnRsFD=2sFO(nlogD)=O(ns)


3
Mengenai Q1: penonaktifan akan menunjukkan rangkaian kecil yang mengejutkan untuk setiap masalah yang dapat diselesaikan dalam 2 ^ (O (n)) waktu, oleh Impagliazzo-Wigderson (seperti yang Anda tahu?)
Ryan Williams

1
Saya bingung dengan Q2. Tampak jelas bahwa dimensi VC dari sebuah poly-time TM tidak terbatas. Yaitu untuk setiap terbatas set dan setiap S X terdapat TM polytime yang menerima unsur-unsur S dan menolak unsur-unsur X S . Kuncinya adalah bahwa X adalah terbatas, sehingga batasan polytime pada dasarnya tidak relevan. X{0,1}SXSXSX
Sasho Nikolov

1
Kembali Q2, inklusi tidak benar-benar ada hubungannya dengan kelas kompleksitas dan kekuatan komputasi saya pikir, ini tentang jumlah bit acak versus jumlah saran, jadi saya tidak berpikir itu memberi kami informasi tentang sifat perhitungan efisien.
Kaveh

1
@ Kaveh: petunjuk "jumlah bit acak vs. jumlah saran" layak untuk dipikirkan! Tetapi dalam pikiran saya (awam), bahkan dalam pertanyaan seperti P vs NP, kami tidak benar-benar peduli tentang konstruksi "eksplisit" dari TM (seragam). Pertanyaan semacam itu hanya bertanya tentang keberadaan algoritma yang efisien. Tentu saja, konstruksi adalah bukti "tidak ada keraguan" dari keberadaan. Tetapi bisa ada beberapa bukti yang kurang langsung juga. Jadi, hal-hal mengurangi untuk memperluas "keberadaan untuk setiap " untuk menunjukkan "keberadaan untuk semua n ". Yaitu, hingga . nn
Stasys

1
Bahkan jika Anda memperbaiki waktu berjalan, VC-redup akan tak terbatas. Apa yang dapat Anda harap lakukan adalah mengikat V-dim-time TM yang terikat berjalan pada ukuran input n . Tetapi jika Anda berpikir tentang argumen itu, Anda harus mengambil mayoritas TM yang berpotensi berbeda untuk setiap n : tidak seragam. Tnn
Sasho Nikolov

Jawaban:


17

Tidak yakin berapa banyak jawaban ini, saya hanya menikmati beberapa perenungan.

Pertanyaan 1 dapat ditanyakan secara setara tentang P NP dan dengan jawaban yang sama - teknik / ide yang digunakan untuk membuktikan hasilnya akan menjadi terobosan besar lebih dari kesimpulan itu sendiri.

Untuk Pertanyaan 2 saya ingin berbagi latar belakang dan pemikiran. Hampir semua teknik dan ide yang kami miliki untuk BPP = P, sejauh yang saya ketahui, melalui "derandomisasi": Dengan adanya Mesin Turing polytime probabilistik, buatlah PRG untuk mengumpankannya sejumlah bit yang ditentukan secara deterministik alih-alih acak. yang, sehingga perilakunya sangat mirip dengan perilakunya pada bit yang benar-benar acak. Jadi dengan generator pseudorandom yang cukup baik, kami mendapatkan BPP = P. ("Dunia BPP = P" Goldreich memberikan bukti bahwa bukti BPP = P harus sama dengan ini.)

Ini hampir sepanjang garis BPP P / poli, kecuali di sana, PRG adalah string saran yang dihasilkan oleh sihir. Mungkin jawaban terbaik untuk Pertanyaan 2 Anda adalah bahwa di P kami tidak memiliki sihir dan harus membuat saran sendiri. Derandomisasi juga merupakan ide di balik hasil 2004 SL = L, menggunakan alat seperti grafik expander.

Sekarang pertimbangkan apa bukti seperti itu akan menyiratkan hanya satu algoritma tertentu, tes primality Miller-Rabin. Ini akan menunjukkan adanya beberapa generator deterministik yang memilih urutan bilangan bulat untuk dimasukkan ke dalam uji primitif Miller-Rabin sedemikian rupa sehingga, jika dan hanya jika semua bilangan bulat berlalu, maka bilangan asli adalah bilangan prima.

Seperti yang saya pahami (walaupun saya bukan ahli), pertanyaan apakah daftar seperti itu ada dan seberapa kecil angka di dalamnya (khususnya jika cukup untuk memeriksa semua angka di bawah beberapa ikatan) tampaknya pertanyaan yang cukup dalam di teori bilangan dan terkait erat dengan pembuktian bentuk Hipotesis Riemann yang digeneralisasi. Lihat pertanyaan ini . Saya tidak berpikir ada implikasi formal di sini, tapi sepertinya bukan sesuatu yang kita harapkan minggu depan sebagai konsekuensi miniatur kebetulan dari konstruksi PRG yang jauh lebih umum.


Pikiran yang menarik! Makalah Oded menunjukkan bahwa Q2 memang mengurangi menjadi "keberadaan vs konstruksi" dari PRG. Dalam derandomisasi melalui dimensi VC, aspek algoritme sepenuhnya diabaikan.
Stasys

2
Terima kasih kepada semua (Kaveh, Ricky, Ryan, Sasho dan "usul"): Saya telah belajar banyak dari komentar Anda. "Keseragaman" tidak pernah menjadi masalah dalam hidupku, karenanya kenaifan pertanyaanku. Saya menerima jawaban "usul". Dilengkapi dengan komentar Kaveh, Ricky, Ryan dan Sasho yang sangat menarik, ini menjawab kedua pertanyaan saya.
Stasys
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.