Kami tahu (untuk saat ini sekitar 40 tahun, terima Adleman, Bennet dan Gill) bahwa masuknya BPP P / poli, dan bahkan lebih kuat BPP / poli P / poli ditahan. "/ Poli" berarti bahwa kita bekerja secara tidak seragam (sirkuit terpisah untuk setiap panjang input ), sementara P tanpa "/ poli" ini berarti kita memiliki satu mesin Turing untuk semua panjang input yang mungkin , bahkan lebih lama dari, katakanlah, = jumlah detik ke "Big Bang" berikutnya. n
Pertanyaan 1: Apa yang baru yang akan menjadi bukti (atau penolakan) BPP = P berkontribusi untuk pengetahuan kita setelah kita mengetahui BPP P / poly?
Di bawah "baru" yang saya maksud adalah konsekuensi yang benar-benar mengejutkan, seperti runtuhnya / pemisahan kelas kompleksitas lainnya. Bandingkan ini dengan konsekuensi yang akan diberikan bukti / non-aktifkan NP P / poly.
[TAMBAH 08.10.2017]: Satu konsekuensi yang sangat mengejutkan dari BPP P adalah bahwa, seperti yang ditunjukkan oleh Impagliazzo dan Wigderson , semua masalah (!) Di E = DTIME [2 ^ {O (n)}] akan memiliki sirkuit berukuran 2 ^ {o (n)} . Terima kasih kepada Ryan karena mengingat hasil ini. 2 o ( n )
Pertanyaan 2: Mengapa kami tidak dapat membuktikan BPP = P sepanjang garis yang sama dengan bukti BPP / poly P / poly?
Satu "jelas" kendala adalah masalah domain terbatas hingga tak terbatas: sirkuit boolean bekerja di atas domain terbatas , sedangkan mesin Turing bekerja di seluruh set dari - string dengan panjang berapa pun. Jadi, untuk derandomisasi sirkuit boolean probabilistik, cukup untuk mengambil sebagian besar salinan independen dari sirkuit probabilistik, dan untuk menerapkan ketimpangan Chernoff, bersama dengan ikatan serikat pekerja. Tentu saja, di atas domain tak terbatas , aturan mayoritas sederhana ini tidak akan berfungsi.
Tetapi apakah ini (domain tanpa batas) benar-benar "penghalang"? Dengan menggunakan hasil dari teori belajar statistik (dimensi VC), kita sudah dapat membuktikan bahwa BPP / poly P / poly juga berlaku untuk sirkuit yang bekerja pada domain tak terbatas , seperti sirkuit aritmatika (bekerja pada semua bilangan real); lihat misalnya makalah Cucker ini di al. Ketika menggunakan pendekatan yang serupa, yang kita perlukan adalah menunjukkan bahwa dimensi VC dari mesin Turing poli-waktu tidak boleh terlalu besar. Adakah yang melihat upaya untuk melakukan langkah terakhir ini?
CATATAN [ditambahkan 07.10.2017]: Dalam konteks derandomisasi, dimensi VC dari kelas fungsi didefinisikan sebagai angka maksimum yang memiliki fungsi di such bahwa untuk setiap ada titik dengan jika dan hanya jika . Yaitu kita hancurkan bukan set poin melalui fungsi melainkan set fungsi melalui poin. (Dua definisi yang dihasilkan dari dimensi VC terkait, tetapi secara eksponensial.)f : X → Y v f 1 , … , f v F S ⊆ { 1 , … , v } ( x , y ) ∈ X × Y f i ( x ) = y i ∈ S
Hasilnya (dikenal sebagai konvergensi seragam dalam probabilitas ) kemudian menyiratkan yang berikut: jika untuk setiap input , fungsi yang dipilih secara acak (di bawah beberapa distribusi probabilitas pada ) memenuhi untuk konstanta , maka dapat dihitung pada semua input sebagai mayoritas dari beberapa (tetap) fungsi dari . Lihat, misalnya, Corollary 2 dalam makalah Haussler . [Agar ini bisa bertahan, ada beberapa kondisi terukur ringan pada ]
Misalnya, jika adalah himpunan semua polinomial dihitung oleh sirkuit aritmatika ukuran , maka semua polinomial di memiliki derajat paling banyak . Dengan menggunakan batas atas yang diketahui pada jumlah nol pola polinomial (lihat, misalnya makalah ini ), orang dapat menunjukkan bahwa dimensi VC dari adalah . Ini menyiratkan dimasukkannya BPP / poli P / poli untuk sirkuit aritmatika.