Berapa probabilitas bahwa fungsi Boolean acak memiliki kelompok automorfisme sepele?

Diberikan fungsi Boolean , kita memiliki grup automorfisme .A u t ( f ) = { σ ∈ S n ∣ ∀ x , f ( σ ( x ) ) = f ( x ) $f$$Aut(f) = \{\sigma \in S_n\ \mid \forall x, f(\sigma(x)) = f(x) \}$

Apakah ada batasan yang diketahui pada ? Adakah yang diketahui untuk jumlah bentuk untuk beberapa grup ?P r f ( G ≤ A u t ( f ) ) $Pr_f(Aut(f) \neq 1)$$Pr_f(G \leq Aut(f))$$G$

Iya. Untuk pertanyaan pertama Anda, probabilitasnya menjadi nol dua kali lipat secara eksponensial cepat. Ini dapat dihitung sebagai berikut. Untuk setiap permutasi , kita dapat mengikat probabilitas bahwa , yaitu bahwa untuk semua . Pertimbangkan orbit bekerja pada . Kami memiliki adalah automorfisme dari jika adalah konstan pada aktivitas. Jika adalah non-trivial, ia memiliki setidaknya satu orbit pada yang bukan singleton, dan karenanya setidaknya pada orbit padaπ ∈ A u t ( f ) f ( π ( x ) ) = f ( x ) x ∈ { 0 , 1 } n π { 0 , 1 } n π f f π $\pi$$\pi \in Aut(f)$$f(\pi(x)) = f(x)$$x \in \{0,1\}^n$$\pi$$\{0,1\}^n$$\pi$$f$$f$$\pi$$\pi${ 0 , 1 } $[n]$$\{0,1\}^n$itu bukan singleton. Misalkan orbit memiliki elemen di dalamnya. Dengan demikian, probabilitas bahwa adalah konstan pada orbit itu adalah . Misalkan bekerja pada memiliki titik tetap, siklus dengan panjang 2, dll. (Khususnya ). Maka jumlah titik diperbaiki oleh tepatnya . Semua poin tersisa dari berada dalam orbit nontrivial dari . Untuk batas atas probabilitas bahwaf 2 - ( k - 1 ) π [ n ] c 1 c 2 ∑ n i = 1 i c i = n { 0 , 1 } n π 2 ∑ i c i { 0 , 1 } n π π ∈ A u t ( f $k$$f$$2^{-(k-1)}$$\pi$$[n]$$c_1$$c_2$$\sum_{i=1}^n i c_i = n$$\{0,1\}^n$$\pi$$2^{\sum_i c_i}$$\{0,1\}^n$$\pi$$\pi \in Aut(f)$, perhatikan bahwa kemungkinan terbaik adalah jika semua elemen non-tetap dari datang dalam ukuran orbit 2. Jadi kita mendapatkan mana . Sekarang, kami ingin batas bawah pada , yang berarti kami ingin batas atas pada . Sejak , terbesar dapat terjadi ketika dan , yaitu dan , jadi dan . Sekarang terapkan ikatan serikat: P r ( π ∈ A u t ( f ) ) ≤ ( 1 / 2 ) M / 2 M = 2 n - 2 Σ i c i M Σ i c i π ≠ 1 Σ c i c 1 = n - 2 c 2 = 1 ∑ c $\{0,1\}^n$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{M/2}$$M = 2^n - 2^{\sum_i c_i}$$M$$\sum_i c_i$$\pi \neq 1$$\sum c_i$$c_1 = n-2$$c_2 = 1$M = 2 n - $\sum c_i = n-1$ M≥ 2 n - 1 Pr(π∈Aut(f))≤(1 / 2 ) 2 n - 2 | S n | =n$M = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}$$M \geq 2^{n-1}$$Pr(\pi \in Aut(f)) \leq (1/2)^{2^{n-2}}$$|S_n| = n!$, jadi , yang pada dasarnya adalah sebagai , cukup cepat.$Pr((\exists \pi \in S_n)[\pi \neq 1 \text{ and } \pi \in Aut(f)]) \leq n! 2^{-2^{n-2}}$$2^{n \lg n - 2^{n-2}} \to 0$$n \to \infty$

Untuk setiap Anda dapat menggunakan alasan yang serupa, tetapi probabilitasnya juga akan menjadi nol dengan sangat cepat.$G \leq S_n$